Menghitung Nilai Tan dari Jumlah Dua Sudut Tancap

Dalam matematika, terdapat berbagai rumus dan identitas trigonometri yang digunakan untuk menghitung nilai-nilai trigonometri dari sudut-sudut tertentu. Salah satu rumus yang sering digunakan adalah rumus untuk menghitung nilai tan dari jumlah dua sudut tancap. Dalam artikel ini, kita akan menggunakan rumus ini untuk menghitung nilai tan dari jumlah dua sudut tancap yang diberikan. Dalam soal ini, kita diberikan informasi bahwa \( \cos \alpha = \frac{3}{5} \) dan \( \cos \beta = \frac{8}{17} \), dengan \( \alpha \) dan \( \beta \) merupakan sudut-sudut tancap. Kita diminta untuk menghitung nilai tan dari jumlah kedua sudut ini, yaitu \( \tan (\alpha + \beta) \). Untuk menghitung nilai tan dari jumlah dua sudut tancap, kita dapat menggunakan rumus trigonometri yang dikenal sebagai rumus penjumlahan tangen. Rumus ini dinyatakan sebagai berikut: \[ \tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \] Dalam rumus ini, kita perlu mengetahui nilai-nilai tangen dari sudut-sudut \( \alpha \) dan \( \beta \) untuk dapat menghitung nilai tangen dari jumlah kedua sudut tancap. Namun, dalam soal ini, kita hanya diberikan informasi mengenai nilai-nilai cosinus dari sudut-sudut \( \alpha \) dan \( \beta \). Oleh karena itu, kita perlu menggunakan identitas trigonometri yang menghubungkan nilai-nilai cosinus dan tangen untuk dapat menghitung nilai tangen dari sudut-sudut ini. Identitas trigonometri yang kita gunakan adalah: \[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \] Dengan menggunakan identitas ini, kita dapat menghitung nilai tangen dari sudut-sudut \( \alpha \) dan \( \beta \) dengan menggunakan nilai-nilai cosinus yang diberikan. Untuk menghitung nilai tangen dari sudut \( \alpha \), kita dapat menggunakan rumus: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Namun, karena kita hanya diberikan informasi mengenai nilai cosinus dari sudut \( \alpha \), kita perlu mencari nilai sinus dari sudut ini terlebih dahulu. Kita dapat menggunakan identitas trigonometri yang menghubungkan nilai-nilai sinus dan cosinus untuk mencari nilai sinus dari sudut \( \alpha \). Identitas trigonometri yang kita gunakan adalah: \[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \] Dengan menggunakan identitas ini, kita dapat mencari nilai sinus dari sudut \( \alpha \) dengan menggunakan nilai cosinus yang diberikan. \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \] \[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} \] Dengan menggunakan nilai cosinus yang diberikan, yaitu \( \cos \alpha = \frac{3}{5} \), kita dapat menghitung nilai sinus dari sudut \( \alpha \). \[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} \] \[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} \] \[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{25}{25} - \frac{9}{25}} \] \[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} \] \[ \sin \alpha = \frac{4}{5} \] Dengan mengetahui nilai sinus dan cosinus dari sudut \( \alpha \), kita dapat menghitung nilai tangen dari sudut ini. \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] \[ \tan \alpha = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} \] \[ \tan \alpha = \frac{4}{3} \] Dengan cara yang sama, kita dapat menghitung nilai tangen dari sudut \( \beta \) dengan menggunakan nilai cosinus yang diberikan, yaitu \( \cos \beta = \frac{8}{17} \). \[ \sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} \] \[ \sin \beta = \sqrt{1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2} \] \[ \sin \beta = \sqrt{1 - \frac{64}{289}} \] \[ \sin \beta = \sqrt{\frac{289}{289} - \frac{64}{289}} \] \[ \sin \beta = \sqrt{\frac{225}{289}} \] \[ \sin \beta = \frac{15}{17} \] \[ \tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \] \[ \tan \beta = \frac{\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}} \] \[ \tan \beta = \frac{15}{8} \] Sekarang, kita memiliki nilai tangen dari sudut \( \alpha \) dan \( \beta \), yaitu \( \tan \alpha = \frac{4}{3} \) dan \( \tan \beta = \frac{15}{8} \). Dengan menggunakan rumus penjumlahan tangen, kita dapat menghitung nilai tangen dari jumlah kedua sudut tancap. \[ \tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \] \[ \tan (\alpha + \beta) = \frac{\frac{4}{3} + \frac{15}{8}}{1 - \frac{4}{3} \cdot \frac{15}{8}} \] \[ \tan (\alpha + \beta) = \frac{\frac{32}{24} + \frac{45}{24}}{1 - \frac{60}{24}} \] \[ \tan (\alpha + \beta) = \frac{\frac{77}{24}}{\frac{24}{24} - \frac{60}{24}} \] \[ \tan (\alpha + \beta) = \frac{\frac{77}{24}}{\frac{-36}{24}} \] \[ \tan (\alpha + \beta) = \frac{77}{24} \cdot \frac{24}{-36} \] \[ \tan (\alpha + \beta) = \frac{77}{-36} \] Jadi, nilai tan dari jumlah kedua sudut tancap \( \alpha \) dan \( \beta \) adalah \( \frac{77}{-36} \), yang dapat ditulis sebagai \( -\frac{77}{36} \). Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.