Menentukan Gradien pada Titik Tertentu dalam Persamaan Implisit

Dalam matematika, terdapat berbagai metode untuk menentukan gradien suatu fungsi. Salah satu metode yang sering digunakan adalah dengan menggunakan persamaan implisit. Persamaan implisit adalah persamaan yang menghubungkan dua atau lebih variabel, di mana tidak ada variabel yang secara eksplisit diisolasi. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menentukan gradien pada titik tertentu dalam persamaan implisit. Pertama-tama, mari kita lihat persamaan implisit yang diberikan: \(x^{2}+y^{2}=25\). Persamaan ini menghubungkan variabel x dan y, dan kita ingin menentukan gradien pada titik (3,4). Untuk menentukan gradien pada titik tertentu dalam persamaan implisit, kita perlu menggunakan aturan rantai. Aturan rantai adalah aturan yang digunakan untuk menghitung turunan fungsi yang terdiri dari fungsi-fungsi yang saling terkait. Pertama, kita perlu mengisolasi variabel y dalam persamaan implisit. Dalam kasus ini, kita dapat mengisolasi y dengan mengambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan: \(y = \sqrt{25 - x^{2}}\). Selanjutnya, kita dapat menghitung turunan \(y\) terhadap \(x\) dengan menggunakan aturan rantai. Turunan \(y\) terhadap \(x\) dapat ditulis sebagai \(\frac{dy}{dx}\). Menggunakan aturan rantai, kita dapat menghitung turunan \(y\) terhadap \(x\) sebagai berikut: \(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{25 - x^{2}})\) Untuk menghitung turunan ini, kita perlu menggunakan aturan turunan rantai. Aturan turunan rantai menyatakan bahwa jika \(y = f(g(x))\), maka \(\frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}\). Dalam kasus ini, \(f(u) = \sqrt{u}\) dan \(g(x) = 25 - x^{2}\). Jadi, kita perlu menghitung \(\frac{df}{dg}\) dan \(\frac{dg}{dx}\). Pertama, kita hitung \(\frac{df}{dg}\). Karena \(f(u) = \sqrt{u}\), maka \(\frac{df}{dg} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\). Selanjutnya, kita hitung \(\frac{dg}{dx}\). Karena \(g(x) = 25 - x^{2}\), maka \(\frac{dg}{dx} = -2x\). Dengan menggabungkan kedua turunan ini, kita dapat menghitung \(\frac{dy}{dx}\) sebagai berikut: \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{25 - x^{2}}} \cdot (-2x)\) Sekarang, kita dapat menggantikan nilai x dengan 3 dan menghitung gradien pada titik (3,4). \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{25 - 3^{2}}} \cdot (-2 \cdot 3)\) \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{25 - 9}} \cdot (-6)\) \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{16}} \cdot (-6)\) \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (-6)\) \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{8} \cdot (-6)\) \(\frac{dy}{dx} = -\frac{6}{8}\) \(\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}\) Jadi, gradien pada titik (3,4) dalam persamaan implisit \(x^{2}+y^{2}=25\) adalah -3/4. Dalam artikel ini, kita telah membahas bagaimana menentukan gradien pada titik tertentu dalam persamaan implisit. Metode yang digunakan adalah dengan menggunakan aturan rantai untuk menghitung turunan fungsi yang terdiri dari fungsi-fungsi yang saling terkait.