Membuktikan \( (A B)^{T}=B^{T} A^{T} \) dengan Menggunakan Matriks \( A \) dan \( B \)

Dalam matematika, matriks adalah alat yang sangat penting dalam berbagai bidang, termasuk aljabar linear. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana membuktikan hubungan antara transpos dari hasil perkalian dua matriks dengan hasil perkalian transpos dari matriks tersebut. Untuk membuktikan hal ini, kita akan menggunakan dua matriks \( A \) dan \( B \) yang diberikan. Matriks \( A \) diberikan sebagai berikut: \[ A=\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 2\end{array}\right) \] Matriks \( B \) diberikan sebagai berikut: \[ B=\left(\begin{array}{rrr}1 & -7 & 0 \\ 0 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right) \] Langkah pertama dalam membuktikan hubungan ini adalah dengan menghitung transpos dari matriks \( A \) dan \( B \). Transpos dari suatu matriks diperoleh dengan menukar baris dan kolom matriks tersebut. Transpos dari matriks \( A \) adalah: \[ A^{T}=\left(\begin{array}{rrr}2 & 4 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right) \] Transpos dari matriks \( B \) adalah: \[ B^{T}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 3 \\ -7 & 2 & 4 \\ 0 & 5 & 5\end{array}\right) \] Selanjutnya, kita akan menghitung hasil perkalian dari matriks \( A \) dan \( B \). Hasil perkalian dua matriks diperoleh dengan mengalikan setiap elemen baris dari matriks pertama dengan setiap elemen kolom dari matriks kedua, dan menjumlahkan hasilnya. Hasil perkalian dari matriks \( A \) dan \( B \) adalah: \[ A B=\left(\begin{array}{rrr}11 & -9 & 19 \\ 11 & -6 & 13 \\ 8 & 19 & 19\end{array}\right) \] Terakhir, kita akan menghitung transpos dari hasil perkalian \( A B \). Transpos dari hasil perkalian dua matriks diperoleh dengan menukar baris dan kolom hasil perkalian tersebut. Transpos dari hasil perkalian \( A B \) adalah: \[ (A B)^{T}=\left(\begin{array}{rrr}11 & 11 & 8 \\ -9 & -6 & 19 \\ 19 & 13 & 19\end{array}\right) \] Sekarang, kita akan membuktikan hubungan \( (A B)^{T}=B^{T} A^{T} \). Untuk melakukannya, kita perlu membandingkan matriks \( (A B)^{T} \) dengan hasil perkalian transpos dari matriks \( B \) dan \( A \). Hasil perkalian transpos dari matriks \( B \) dan \( A \) adalah: \[ B^{T} A^{T}=\left(\begin{array}{rrr}11 & 11 & 8 \\ -9 & -6 & 19 \\ 19 & 13 & 19\end{array}\right) \] Dari perbandingan di atas, kita dapat melihat bahwa \( (A B)^{T}=B^{T} A^{T} \), yang membuktikan hubungan ini. Dalam artikel ini, kita telah membuktikan hubungan antara transpos dari hasil perkalian dua matriks dengan hasil perkalian transpos dari matriks tersebut. Dalam contoh ini, kita menggunakan matriks \( A \) dan \( B \) yang diberikan. Hasilnya menunjukkan bahwa \( (A B)^{T}=B^{T} A^{T} \).