Mencari Persamaan Kuadrat Baru dengan Akar yang Ditambah 3

Dalam matematika, persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial tingkat dua yang memiliki bentuk umum \(ax^2 + bx + c = 0\), di mana \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah konstanta dan \(a

eq 0\). Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, kita dapat menggunakan rumus kuadrat atau mencari akar-akarnya. Dalam kasus ini, kita diberikan persamaan kuadrat \(x^2 - 2x - 8 = 0\) dan kita diminta untuk mencari persamaan kuadrat baru dengan akar-akar yang ditambah 3. Mari kita selesaikan masalah ini langkah demi langkah. Langkah 1: Temukan akar-akar persamaan kuadrat awal Untuk menemukan akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 - 2x - 8 = 0\), kita dapat menggunakan rumus kuadrat. Rumus kuadrat diberikan oleh: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] Dalam persamaan kuadrat kita, \(a = 1\), \(b = -2\), dan \(c = -8\). Mari kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus kuadrat: \[x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}\] \[x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}\] \[x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}\] \[x = \frac{2 \pm 6}{2}\] Jadi, akar-akar persamaan kuadrat awal adalah \(x_1 = -2\) dan \(x_2 = 4\). Langkah 2: Temukan akar-akar persamaan kuadrat baru Kita diminta untuk mencari persamaan kuadrat baru dengan akar-akar yang ditambah 3. Jadi, kita harus menambahkan 3 pada setiap akar: \[\alpha = x_1 + 3 = -2 + 3 = 1\] \[\beta = x_2 + 3 = 4 + 3 = 7\] Jadi, akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \(\alpha = 1\) dan \(\beta = 7\). Langkah 3: Temukan persamaan kuadrat baru Untuk menemukan persamaan kuadrat baru dengan akar-akar \(\alpha\) dan \(\beta\), kita dapat menggunakan rumus kuadrat kembali. Kali ini, kita akan menggunakan \(\alpha\) dan \(\beta\) sebagai akar-akar persamaan kuadrat: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] Dalam persamaan kuadrat baru kita, \(a = 1\), \(b = -(\alpha + \beta)\), dan \(c = \alpha \cdot \beta\). Mari kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus kuadrat: \[x = \frac{-(-(\alpha + \beta)) \pm \sqrt{(-(\alpha + \beta))^2 - 4(1)(\alpha \cdot \beta)}}{2(1)}\] \[x = \frac{\alpha + \beta \pm \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4(\alpha \cdot \beta)}}{2}\] Jadi, persamaan kuadrat baru dengan akar-akar \(\alpha\) dan \(\beta\) adalah: \[x = \frac{\alpha + \beta \pm \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4(\alpha \cdot \beta)}}{2}\] Dalam kasus ini, \(\alpha = 1\) dan \(\beta = 7\), jadi persamaan kuadrat baru menjadi: \[x = \frac{1 + 7 \pm \sqrt{(1 + 7)^2 - 4(1 \cdot 7)}}{2}\] \[x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}\] \[x = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2}\]