Menentukan Nilai \( x \) yang Memenuhi Persamaan Determinan

Dalam matematika, determinan adalah suatu nilai yang dihasilkan dari matriks persegi. Determinan sering digunakan dalam berbagai aplikasi, termasuk sistem persamaan linear. Dalam artikel ini, kita akan mencari nilai-nilai \( x \) yang memenuhi persamaan determinan dari matriks 3x3. Persamaan determinan yang akan kita bahas adalah \( \left|\begin{array}{ccc}2-x & 2 & 1 \\ 1 & 3-x & 1 \\ 1 & 2 & 2-x\end{array}\right|=0 \). Kita ingin mencari semua nilai \( x \) yang membuat determinan ini sama dengan nol. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menggunakan metode ekspansi kofaktor atau metode eliminasi Gauss. Namun, dalam artikel ini, kita akan menggunakan metode ekspansi kofaktor. Pertama, kita akan menghitung determinan menggunakan ekspansi kofaktor. Dalam kasus ini, kita akan menggunakan baris pertama sebagai referensi. Jadi, kita akan mengalikan setiap elemen baris pertama dengan kofaktornya dan menjumlahkannya. \( \left|\begin{array}{ccc}2-x & 2 & 1 \\ 1 & 3-x & 1 \\ 1 & 2 & 2-x\end{array}\right| = (2-x) \left|\begin{array}{cc}3-x & 1 \\ 2 & 2-x\end{array}\right| - 2 \left|\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 2 & 2-x\end{array}\right| + 1 \left|\begin{array}{cc}1 & 3-x \\ 2 & 2-x\end{array}\right| \) Selanjutnya, kita akan menghitung determinan matriks 2x2 yang muncul dalam ekspansi kofaktor di atas. \( \left|\begin{array}{cc}3-x & 1 \\ 2 & 2-x\end{array}\right| = (3-x)(2-x) - 1 \times 2 = x^2 - 7x + 4 \) \( \left|\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 2 & 2-x\end{array}\right| = 1 \times (2-x) - 1 \times 2 = 2 - 3x \) \( \left|\begin{array}{cc}1 & 3-x \\ 2 & 2-x\end{array}\right| = 1 \times (2-x) - (3-x) \times 2 = -x^2 + 5x - 4 \) Sekarang, kita dapat menggantikan determinan matriks 2x2 yang telah kita hitung ke dalam persamaan determinan awal. \( (2-x)(x^2 - 7x + 4) - 2(2 - 3x) + 1(-x^2 + 5x - 4) = 0 \) Setelah menyederhanakan persamaan di atas, kita akan mendapatkan persamaan kuadrat yang dapat diselesaikan untuk mencari nilai-nilai \( x \) yang memenuhi persamaan determinan. \( -x^3 + 6x^2 - 11x + 6 = 0 \) Dengan menggunakan metode faktorisasi atau metode lainnya, kita dapat menemukan bahwa nilai-nilai \( x \) yang memenuhi persamaan ini adalah \( x = 1 \) atau \( x = 5 \). Jadi, jawaban yang benar untuk pertanyaan ini adalah A. \( x = 1 \) atau \( x = 5 \). Dalam artikel ini, kita telah membahas cara menentukan nilai-nilai \( x \) yang memenuhi persamaan determinan dari matriks 3x3. Metode yang digunakan adalah metode ekspansi kofaktor. Semoga artikel ini bermanfaat dan dapat membantu pemahaman Anda tentang determinan dan aplikasinya dalam matematika.