Menentukan Nilai \( a-b- \) dari Persamaan \( F(x)=a \tan x+b x \)

Dalam matematika, terkadang kita diberikan persamaan fungsi dan diminta untuk menentukan nilai-nilai tertentu dari fungsi tersebut. Dalam kasus ini, kita akan mencari nilai dari \( a-b- \) dari persamaan \( F(x)=a \tan x+b x \). Untuk menyelesaikan masalah ini, kita akan menggunakan informasi yang diberikan dalam soal. Kita diberikan bahwa \( F^{\prime}\left(\frac{x}{4}\right)-3 \) dan \( F^{\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)-9 \). Pertama, mari kita cari turunan dari fungsi \( F(x) \). Turunan dari \( F(x) \) dapat ditemukan dengan menggunakan aturan rantai. \( F^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(a \tan x+b x) \) Untuk mencari turunan dari \( \tan x \), kita dapat menggunakan aturan turunan trigonometri. \( \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \) Jadi, turunan dari \( F(x) \) adalah: \( F^{\prime}(x) = a \sec^2 x + b \) Sekarang, kita dapat menggunakan informasi yang diberikan dalam soal untuk menentukan nilai dari \( a \) dan \( b \). Pertama, kita akan mencari nilai dari \( F^{\prime}\left(\frac{x}{4}\right) \). \( F^{\prime}\left(\frac{x}{4}\right) = a \sec^2 \left(\frac{x}{4}\right) + b \) Kita diberikan bahwa \( F^{\prime}\left(\frac{x}{4}\right)-3 \), jadi kita dapat menulis persamaan berikut: \( a \sec^2 \left(\frac{x}{4}\right) + b - 3 \) Selanjutnya, kita akan mencari nilai dari \( F^{\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right) \). \( F^{\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right) = a \sec^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) + b \) Kita diberikan bahwa \( F^{\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)-9 \), jadi kita dapat menulis persamaan berikut: \( a \sec^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) + b - 9 \) Sekarang, kita dapat menyelesaikan sistem persamaan ini untuk mencari nilai dari \( a \) dan \( b \). Dengan menggabungkan kedua persamaan di atas, kita dapat menulis: \( a \sec^2 \left(\frac{x}{4}\right) + b - 3 = a \sec^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) + b - 9 \) Kita dapat membatalkan \( b \) dari kedua sisi persamaan ini: \( a \sec^2 \left(\frac{x}{4}\right) - 3 = a \sec^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) - 9 \) Kita juga dapat membatalkan \( a \) dari kedua sisi persamaan ini: \( \sec^2 \left(\frac{x}{4}\right) - 3 = \sec^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) - 9 \) Sekarang, kita dapat mencari nilai dari \( \sec^2 \left(\frac{x}{4}\right) \) dan \( \sec^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) \). \( \sec^2 \left(\frac{x}{4}\right) = \frac{1}{\cos^2 \left(\frac{x}{4}\right)} \) \( \sec^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right)} \) Dengan menggabungkan semua informasi ini, kita dapat menyelesaikan persamaan dan mencari nilai dari \( a \) dan \( b \). Setelah kita menemukan nilai-nilai ini, kita dapat menghitung nilai dari \( a-b- \) dengan mengurangi nilai \( b \) dari nilai \( a \). Jadi, dengan menggunakan metode ini, kita dapat menentukan nilai dari \( a-b- \) dari persamaan \( F(x)=a \tan x+b x \).