Analisis Fungsi Kuadrat $y=24+2x-x^{2}$

Fungsi kuadrat adalah jenis fungsi matematika yang memiliki bentuk umum $y=ax^2+bx+c$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis fungsi kuadrat spesifik yaitu $y=24+2x-x^{2}$. Pertama, mari kita perhatikan pernyataan yang diberikan: i. Fungsi ini memotong sumbu Y di titik (0,24). ii. Fungsi ini memotong sumbu X di titik (4,0). iii. Sumbu simetri fungsi ini adalah $x=-1$. iv. Nilai maksimum fungsi ini adalah 25. Mari kita analisis pernyataan-pernyataan ini satu per satu. Pernyataan i mengatakan bahwa fungsi ini memotong sumbu Y di titik (0,24). Ini berarti ketika $x=0$, nilai $y$ adalah 24. Kita dapat memverifikasi ini dengan menggantikan $x=0$ ke dalam persamaan fungsi: $y=24+2(0)-0^{2}=24$. Jadi, pernyataan i adalah benar. Pernyataan ii mengatakan bahwa fungsi ini memotong sumbu X di titik (4,0). Ini berarti ketika $y=0$, nilai $x$ adalah 4. Kita dapat memverifikasi ini dengan menggantikan $y=0$ ke dalam persamaan fungsi: $0=24+2x-x^{2}$. Kita dapat menyelesaikan persamaan ini dengan mencari akar-akarnya. Namun, karena ini adalah fungsi kuadrat, kita dapat menggunakan faktorisasi untuk menyelesaikannya. Dengan memfaktorkan persamaan ini, kita dapat menulisnya sebagai $(x-4)(x+6)=0$. Jadi, akar-akar persamaan ini adalah $x=4$ dan $x=-6$. Oleh karena itu, pernyataan ii adalah salah. Pernyataan iii mengatakan bahwa sumbu simetri fungsi ini adalah $x=-1$. Sumbu simetri fungsi kuadrat selalu berada di tengah-tengah antara dua akar persamaan kuadrat. Karena kita telah menemukan bahwa akar-akar persamaan ini adalah $x=4$ dan $x=-6$, sumbu simetri harus berada di tengah-tengah antara kedua nilai ini. Jadi, sumbu simetri seharusnya berada di $x=\frac{4+(-6)}{2}=-1$. Oleh karena itu, pernyataan iii adalah benar. Pernyataan iv mengatakan bahwa nilai maksimum fungsi ini adalah 25. Nilai maksimum fungsi kuadrat terjadi ketika $x$ berada di sumbu simetri. Kita telah menemukan bahwa sumbu simetri fungsi ini adalah $x=-1$. Mari kita gantikan nilai ini ke dalam persamaan fungsi: $y=24+2(-1)-(-1)^{2}=24-2+1=23$. Jadi, nilai maksimum fungsi ini seharusnya adalah 23, bukan 25. Oleh karena itu, pernyataan iv adalah salah. Dalam analisis ini, kita telah menemukan bahwa pernyataan i dan iii adalah benar, sedangkan pernyataan ii dan iv adalah salah. Oleh karena itu, pernyataan yang benar ditunjukkan oleh nomor i dan iii.