Persamaan Garis Singgung Kurva \( y=5x^{2}+2x-12 \) di Titik \( (2,12) \)

Dalam matematika, garis singgung adalah garis yang menyentuh kurva pada satu titik dan memiliki gradien yang sama dengan gradien kurva di titik tersebut. Dalam artikel ini, kita akan membahas persamaan garis singgung kurva \( y=5x^{2}+2x-12 \) di titik \( (2,12) \). Untuk menemukan persamaan garis singgung, kita perlu menggunakan konsep turunan. Turunan dari suatu fungsi adalah gradien dari garis singgung pada titik tersebut. Dalam kasus ini, kita akan mencari turunan dari fungsi \( y=5x^{2}+2x-12 \). Untuk mencari turunan, kita dapat menggunakan aturan turunan. Aturan turunan untuk fungsi kuadratik adalah sebagai berikut: \[ \frac{{d}}{{dx}}(ax^{2}+bx+c) = 2ax+b \] Dalam kasus ini, \( a=5 \), \( b=2 \), dan \( c=-12 \). Jadi, turunan dari fungsi \( y=5x^{2}+2x-12 \) adalah: \[ \frac{{d}}{{dx}}(5x^{2}+2x-12) = 10x+2 \] Sekarang kita memiliki gradien garis singgung pada titik \( (2,12) \), yaitu \( 10(2)+2 = 22 \). Persamaan garis singgung dapat ditulis dalam bentuk umum \( y=mx+c \), di mana \( m \) adalah gradien dan \( c \) adalah konstanta. Dalam kasus ini, persamaan garis singgung adalah \( y=22x+c \). Untuk menentukan nilai \( c \), kita dapat menggunakan titik \( (2,12) \) yang telah diberikan. Substitusikan nilai \( x=2 \) dan \( y=12 \) ke dalam persamaan garis singgung: \[ 12=22(2)+c \] Simplifikasi persamaan tersebut akan memberikan kita nilai \( c \). Setelah menyelesaikan persamaan, kita akan mendapatkan \( c=-32 \). Jadi, persamaan garis singgung kurva \( y=5x^{2}+2x-12 \) di titik \( (2,12) \) adalah \( y=22x-32 \). Dengan demikian, kita telah menemukan persamaan garis singgung kurva \( y=5x^{2}+2x-12 \) di titik \( (2,12) \). Persamaan ini dapat digunakan untuk memodelkan garis singgung pada titik tersebut dan memberikan informasi tentang gradien garis singgung.