Bukti Sinus dan Kosinus dalam Hubungan Sudut dalam Segitig

Dalam matematika, segitiga adalah salah satu bentuk geometri yang paling umum dan penting. Sudut dalam segitiga memiliki hubungan yang menarik, terutama ketika kita mempertimbangkan sinus dan kosinus dari sudut-sudut tersebut. Dalam artikel ini, kita akan membahas bukti bahwa jika jumlah dari dua sudut dalam segitiga adalah 180 derajat, maka sinus dari jumlah kedua sudut tersebut sama dengan sinus sudut ketiga, dan kosinus dari jumlah kedua sudut tersebut adalah negatif dari kosinus sudut ketiga. Pertama, mari kita tinjau hubungan antara sinus dan sudut dalam segitiga. Sinus dari suatu sudut dalam segitiga didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi yang berlawanan dengan sudut tersebut dengan panjang sisi miring (hipotenusa) segitiga. Dalam segitiga ABC, dengan sudut A dan sudut B, sinus dari sudut A adalah panjang sisi yang berlawanan dengan sudut A (sisi BC) dibagi dengan panjang sisi miring (sisi AC). Sinus dari sudut B adalah panjang sisi yang berlawanan dengan sudut B (sisi AC) dibagi dengan panjang sisi miring (sisi BC). Sekarang, jika kita memiliki dua sudut dalam segitiga, A dan B, dan jumlah kedua sudut tersebut adalah 180 derajat, maka sudut ketiga, C, adalah 180 derajat dikurangi dari jumlah kedua sudut tersebut. Dalam hal ini, sudut C adalah 180 - (A + B) derajat. Mari kita terapkan definisi sinus pada sudut A + B dan sudut C. Sinus dari sudut A + B adalah panjang sisi yang berlawanan dengan sudut A + B (sisi DE) dibagi dengan panjang sisi miring (sisi AE). Sinus dari sudut C adalah panjang sisi yang berlawanan dengan sudut C (sisi DE) dibagi dengan panjang sisi miring (sisi CE). Karena sudut A + B dan sudut C memiliki sisi yang berlawanan yang sama (sisi DE), dan sisi miring yang sama (sisi AE dan sisi CE), maka sinus dari sudut A + B harus sama dengan sinus dari sudut C. Oleh karena itu, kita telah membuktikan bahwa jika jumlah dari dua sudut dalam segitiga adalah 180 derajat, maka sinus dari jumlah kedua sudut tersebut sama dengan sinus sudut ketiga. Selanjutnya, mari kita tinjau hubungan antara kosinus dan sudut dalam segitiga. Kosinus dari suatu sudut dalam segitiga didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi yang bersebelahan dengan sudut tersebut dengan panjang sisi miring (hipotenusa) segitiga. Dalam segitiga ABC, dengan sudut A dan sudut B, kosinus dari sudut A adalah panjang sisi yang bersebelahan dengan sudut A (sisi AB) dibagi dengan panjang sisi miring (sisi AC). Kosinus dari sudut B adalah panjang sisi yang bersebelahan dengan sudut B (sisi AB) dibagi dengan panjang sisi miring (sisi BC). Sekarang, jika kita memiliki dua sudut dalam segitiga, A dan B, dan jumlah kedua sudut tersebut adalah 180 derajat, maka sudut ketiga, C, adalah 180 derajat dikurangi dari jumlah kedua sudut tersebut. Dalam hal ini, sudut C adalah 180 - (A + B) derajat. Mari kita terapkan definisi kosinus pada sudut A + B dan sudut C. Kosinus dari sudut A + B adalah panjang sisi yang bersebelahan dengan sudut A + B (sisi AB) dibagi dengan panjang sisi miring (sisi AE). Kosinus dari sudut C adalah panjang sisi yang bersebelahan dengan sudut C (sisi AB) dibagi dengan panjang sisi miring (sisi CE). Karena sudut A + B dan sudut C memiliki sisi yang bersebelahan yang sama (sisi AB), dan sisi miring yang sama (sisi AE dan sisi CE), maka kosinus dari sudut A + B harus sama dengan negatif dari kosinus sudut C. Oleh karena itu, kita telah membuktikan bahwa jika jumlah