Fungsi Kuadrat dan Persamaan Parabol

Dalam matematika, fungsi kuadrat merupakan salah satu jenis fungsi yang memiliki bentuk umum \(y = ax^2 + bx + c\), di mana \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah konstanta. Fungsi kuadrat memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari, termasuk dalam bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Dalam artikel ini, kita akan membahas tiga fungsi kuadrat yang spesifik, yaitu \(y = -\frac{1}{2}x^2\), \(y = -\frac{1}{2}x^2 - 1\), dan \(y = -\frac{1}{2}(x+1)^2 - 1\). Selain itu, kita juga akan membahas persamaan parabola yang terkait dengan fungsi kuadrat ini. Fungsi kuadrat pertama, \(y = -\frac{1}{2}x^2\), memiliki bentuk parabola yang terbuka ke bawah. Nilai \(a\) yang negatif menunjukkan bahwa parabola ini memiliki puncak di atas sumbu x. Dengan menggunakan tabel, kita dapat mengamati hubungan antara nilai x dan y untuk fungsi ini. Tabel 1: Fungsi Kuadrat Pertama \[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline -2 & -2 \\ -1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 \\ 1 & -\frac{1}{2} \\ 2 & -2 \\ \hline \end{array} \] Fungsi kuadrat kedua, \(y = -\frac{1}{2}x^2 - 1\), juga memiliki bentuk parabola yang terbuka ke bawah. Namun, dengan adanya konstanta -1 pada akhir persamaan, puncak parabola ini turun satu satuan dari puncak parabola pertama. Kembali menggunakan tabel, kita dapat melihat hubungan antara nilai x dan y untuk fungsi ini. Tabel 2: Fungsi Kuadrat Kedua \[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline -2 & -3 \\ -1 & -\frac{3}{2} \\ 0 & -1 \\ 1 & -\frac{3}{2} \\ 2 & -3 \\ \hline \end{array} \] Fungsi kuadrat ketiga, \(y = -\frac{1}{2}(x+1)^2 - 1\), memiliki bentuk parabola yang terbuka ke bawah seperti fungsi kuadrat kedua. Namun, dengan adanya pergeseran satu satuan ke kiri pada persamaan, puncak parabola ini juga bergeser satu satuan ke kiri dari puncak parabola kedua. Tabel berikut menunjukkan hubungan antara nilai x dan y untuk fungsi ini. Tabel 3: Fungsi Kuadrat Ketiga \[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline -3 & -2 \\ -2 & -\frac{5}{2} \\ -1 & -3 \\ 0 & -\frac{5}{2} \\ 1 & -2 \\ \hline \end{array} \] Selain itu, kita juga dapat menemukan persamaan parabola yang melalui tiga titik, yaitu titik A(-1,3) dan titik B(1,3). Untuk menemukan persamaan parabola ini, kita dapat menggunakan metode substitusi. Dengan menggantikan nilai x dan y pada persamaan umum \(y = ax^2 + bx + c\) dengan nilai dari titik-titik yang diberikan, kita dapat mencari nilai-nilai dari a, b, dan c. Dengan menggunakan titik A(-1,3), kita dapat menggantikan x dengan -1 dan y dengan 3 pada persamaan umum. Setelah melakukan substitusi, kita dapat mencari nilai a, b, dan c. \[3 = a(-1)^2 + b(-1) + c\] \[3 = a - b + c\] Dengan menggunakan titik B(1,3), kita dapat menggantikan x dengan 1 dan y dengan 3 pada persamaan umum. Setelah melakukan substitusi, kita dapat mencari nilai a, b, dan c. \[3 = a(1)^2 + b(1) + c\] \[3 = a + b + c\] Dengan memecahkan sistem persamaan ini, kita dapat menemukan nilai-nilai dari a, b, dan c. Setelah itu, kita dapat menulis persamaan parabola yang melalui titik-titik A dan B. Dalam artikel ini, kita telah membahas tiga fungsi kuadrat spesifik, yaitu \(y = -\frac{1}{2}x^2\), \(y = -\frac{1}{2}x^2 - 1\), dan \(y = -\frac{1}{2}(x+1)^2 - 1\). Kita juga telah membahas persamaan parabola yang melalui titik-titik A(-1,3) dan B(1,3). Semoga artikel ini dapat membantu Anda memahami konsep fungsi kuadrat dan persamaan parabola dengan lebih baik.