Menentukan Nilai a dan b dalam Persamaan f(x) dan g(x)

Dalam soal ini, kita diberikan dua fungsi, yaitu f(x) dan g(x), serta beberapa informasi tentang komposisi fungsi tersebut. Tujuan kita adalah menentukan nilai dari a dan b dalam persamaan f(x) dan g(x). Pertama, mari kita tinjau fungsi f(x). Fungsi ini didefinisikan sebagai f(x) = 1/(x+a). Dalam konteks ini, kita ingin mengetahui nilai f(g(1)), yang dapat ditulis sebagai (f ∘ g)(1). Selanjutnya, mari kita tinjau fungsi g(x). Fungsi ini didefinisikan sebagai g(x) = x^2 + b. Dalam konteks ini, kita ingin mengetahui nilai g(f(1)), yang dapat ditulis sebagai (g ∘ f)(1). Diberikan bahwa (f ∘ g)(1) = 1/2. Untuk mencari nilai ini, kita perlu menggantikan x dalam fungsi g(x) dengan f(1). Dalam hal ini, f(1) = 1/(1+a). Jadi, kita dapat menulis persamaan (f ∘ g)(1) sebagai 1/(1+a)^2 + b = 1/2. Selanjutnya, diberikan bahwa (g ∘ f)(1) = 2. Untuk mencari nilai ini, kita perlu menggantikan x dalam fungsi f(x) dengan g(1). Dalam hal ini, g(1) = 1^2 + b = 1 + b. Jadi, kita dapat menulis persamaan (g ∘ f)(1) sebagai 1/(1+(1+b)) + b = 2. Sekarang, kita memiliki dua persamaan yang harus diselesaikan untuk mencari nilai a dan b. Pertama, kita akan menyelesaikan persamaan (f ∘ g)(1) = 1/(1+a)^2 + b = 1/2. Dalam persamaan ini, kita dapat mengalikan kedua sisi dengan 2(1+a)^2 untuk menghilangkan pecahan. Setelah melakukan perhitungan, kita akan mendapatkan persamaan kuadratik 2(1+a)^2 + 4b(1+a)^2 = (1+a)^2. Kemudian, kita akan menyelesaikan persamaan (g ∘ f)(1) = 1/(1+(1+b)) + b = 2. Dalam persamaan ini, kita dapat mengalikan kedua sisi dengan (1+(1+b)) untuk menghilangkan pecahan. Setelah melakukan perhitungan, kita akan mendapatkan persamaan kuadratik (1+(1+b)) + b(1+(1+b)) = 2(1+(1+b)). Setelah menyelesaikan kedua persamaan ini, kita akan mendapatkan nilai a dan b yang memenuhi persamaan tersebut.