Membahas Batas Fungsi \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{x}-x\right) \)

Dalam matematika, batas fungsi adalah konsep penting yang digunakan untuk memahami perilaku suatu fungsi saat variabel input mendekati suatu nilai tertentu. Salah satu contoh batas fungsi yang menarik untuk dibahas adalah \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{x}-x\right) \). Dalam artikel ini, kita akan menjelaskan apa itu batas fungsi, bagaimana menghitung batas fungsi ini, dan apa arti dari hasilnya. Pertama-tama, mari kita bahas apa itu batas fungsi. Batas fungsi adalah nilai yang dihasilkan oleh suatu fungsi saat variabel input mendekati suatu nilai tertentu. Dalam kasus \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{x}-x\right) \), kita ingin mengetahui nilai fungsi \( e^{x}-x \) saat \( x \) mendekati tak hingga. Dalam hal ini, kita ingin melihat perilaku fungsi saat \( x \) semakin besar dan mendekati tak hingga. Untuk menghitung batas fungsi ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau menggunakan sifat eksponensial dan polinomial. Dalam kasus ini, kita akan menggunakan sifat eksponensial dan polinomial. Kita dapat membagi fungsi \( e^{x}-x \) dengan \( e^{x} \) untuk mendapatkan bentuk yang lebih sederhana. Hasilnya adalah \( 1-\frac{x}{e^{x}} \). Ketika \( x \) mendekati tak hingga, \( e^{x} \) juga mendekati tak hingga. Oleh karena itu, \( \frac{x}{e^{x}} \) akan mendekati nol. Sehingga, \( 1-\frac{x}{e^{x}} \) akan mendekati 1. Dengan demikian, \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{x}-x\right) \) akan sama dengan 1. Arti dari hasil ini adalah bahwa saat \( x \) mendekati tak hingga, perbedaan antara \( e^{x} \) dan \( x \) akan semakin kecil dan mendekati 1. Dalam hal ini, \( e^{x} \) tumbuh lebih cepat daripada \( x \) saat \( x \) semakin besar. Dalam kesimpulan, \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{x}-x\right) \) adalah 1. Hasil ini menunjukkan bahwa saat \( x \) mendekati tak hingga, perbedaan antara \( e^{x} \) dan \( x \) semakin kecil dan mendekati 1. Batas fungsi adalah konsep penting dalam matematika yang membantu kita memahami perilaku suatu fungsi saat variabel input mendekati suatu nilai tertentu.