Damped Simple Harmonic Motion

Dalam gerakan harmonik sederhana ideal, energi total tetap konstan dan pergeseran mengikuti kurva sinus, tampaknya selama waktu yang tak terbatas. Namun, dalam praktiknya, energi selalu terbuang oleh proses resistif atau viskos; misalnya, amplitudo sebuah bandul yang berayun bebas akan selalu berkurang seiring berjalannya waktu karena energi hilang. Adanya hambatan terhadap gerakan berarti ada gaya lain yang aktif, yang dianggap proporsional dengan kecepatan. Gaya gesekan bekerja ke arah berlawanan dengan arah kecepatan (lihat Gambar 2.1) sehingga Hukum Newton Kedua menjadi $mx=-sx-r\dot {x}$ di mana r adalah konstanta proporsionalitas dan memiliki dimensi gaya per satuan kecepatan. Keberadaan istilah ini selalu mengakibatkan kehilangan energi. Masalahnya sekarang adalah untuk menemukan perilaku pergeseran x dari persamaan $mx+rx+sx=0$ (2.1) di mana koefisien m, r, dan s adalah konstan. Ketika koefisien-koefisien ini konstan, solusi dalam bentuk $x=Ce^{\alpha t}$ selalu dapat ditemukan. Jelas, karena suatu suku eksponensial selalu tak berdimensi, C memiliki dimensi x (sebuah panjang, misalnya) dan $\alpha$ memiliki dimensi waktu terbalik, $T^{-1}$. Kita akan melihat bahwa ada tiga bentuk solusi yang mungkin, masing-masing menggambarkan perilaku yang berbeda dari pergeseran x terhadap waktu. Dalam dua solusi ini, C muncul secara eksplisit sebagai panjang konstan, tetapi dalam kasus ketiga, ia mengambil bentuk $C=A+Bt^{\ast}$ Jumlah konstanta yang diizinkan dalam solusi umum dari persamaan diferensial selalu sama dengan orde (yaitu, turunan diferensial tertinggi) dari persamaan tersebut. Dua nilai A dan B diizinkan karena persamaan (2.1) adalah orde kedua. Nilai-nilai konstanta disesuaikan untuk memenuhi kondisi awal. Sumber: The Physics of Vibrations and Waves, 6th Edition H. J. Pain C 2005 John Wiley Sons, Ltd, ISBN: 0-470-01295-1 (hardback)0-470-01296-X(paperback)