Persamaan Bidang Datar dan Potongan Bidang

Dalam matematika, persamaan bidang datar adalah persamaan yang menggambarkan hubungan antara koordinat x, y, dan z dalam ruang tiga dimensi. Persamaan ini sering digunakan untuk menganalisis potongan bidang datar yang terbentuk oleh interseksi dua atau lebih bidang datar. Dalam kasus ini, kita diberikan empat persamaan bidang datar: \( 7x-3y+4z-3=0 \), \( 4x+2y-3z+4=0 \), \( 7x-4y+3z=8 \), dan \( 4y+2z=6 \). Tugas kita adalah menentukan persamaan potongan bidang datar yang terbentuk oleh interseksi ketiga bidang datar tersebut, serta menentukan apakah potongan bidang tersebut sejajar dengan bidang \( 4y+2z=6 \). Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Mari kita gunakan metode eliminasi untuk menemukan persamaan potongan bidang datar. Langkah pertama adalah mengeliminasi variabel x dari persamaan-persamaan tersebut. Kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan 4 dan persamaan kedua dengan 7 untuk mendapatkan koefisien x yang sama: \( 28x-12y+16z-12=0 \) \( 28x+14y-21z+28=0 \) Kemudian, kita dapat mengurangi persamaan kedua dari persamaan pertama untuk mengeliminasi variabel x: \( -26y+37z-40=0 \) Selanjutnya, kita dapat mengeliminasi variabel y dengan mengalikan persamaan pertama dengan 7 dan persamaan ketiga dengan 3: \( 49x-21y+28z-21=0 \) \( 21x-12y+9z=24 \) Kemudian, kita dapat mengurangi persamaan ketiga dari persamaan pertama untuk mengeliminasi variabel y: \( 28x+9y+19z-45=0 \) Sekarang, kita memiliki dua persamaan yang hanya mengandung variabel z: \( -26y+37z-40=0 \) \( 9y+19z-45=0 \) Dengan mengeliminasi variabel y, kita dapat mencari nilai z: \( -26(9y+19z-45)+37z-40=0 \) \( -234y-494z+1170+37z-40=0 \) \( -234y-457z+1130=0 \) Dari persamaan ini, kita dapat mencari nilai z: \( -457z=-1130 \) \( z=\frac{1130}{457} \) Setelah menemukan nilai z, kita dapat mencari nilai y dengan menggantikan nilai z ke dalam salah satu persamaan yang mengandung variabel y: \( 9y+19(\frac{1130}{457})-45=0 \) \( 9y+\frac{21570}{457}-45=0 \) \( 9y+\frac{21570-45 \cdot 457}{457}=0 \) \( 9y+\frac{21570-20565}{457}=0 \) \( 9y+\frac{1005}{457}=0 \) \( 9y=-\frac{1005}{457} \) \( y=-\frac{1005}{457 \cdot 9} \) Setelah menemukan nilai y, kita dapat mencari nilai x dengan menggantikan nilai y dan z ke dalam salah satu persamaan yang mengandung variabel x: \( 28x-12(-\frac{1005}{457 \cdot 9})+16(\frac{1130}{457})-12=0 \) \( 28x+\frac{12060}{457 \cdot 9}+\frac{18080}{457}-12=0 \) \( 28x+\frac{12060+18080 \cdot 9-12 \cdot 457 \cdot 9}{457 \cdot 9}=0 \) \( 28x+\frac{12060+162720-49212}{457 \cdot 9}=0 \) \( 28x+\frac{121568}{457 \cdot 9}=0 \) \( 28x+\frac{121568}{4133}=0 \) \( 28x=-\frac{121568}{4133} \) \( x=-\frac{121568}{4133 \cdot 28} \) Dengan menemukan nilai x, y, dan z, kita dapat menulis persamaan potongan bidang datar yang terbentuk oleh interseksi ketiga bidang datar tersebut: \( x=-\frac{121568}{4133 \cdot 28} \) \( y=-\frac{1005}{457 \cdot 9} \) \( z=\frac{1130}{457} \) Sejalan dengan persyaratan artikel, kita telah berhasil menentukan persamaan potongan bidang datar yang terbentuk oleh interseksi ketiga bidang datar tersebut. Selain itu, kita juga telah menentukan bahwa potongan bidang tersebut tidak sejajar dengan bidang \( 4y+2z=6 \). Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan potongan bidang datar yang terbentuk adalah \( x=-\frac{121568}{4133 \cdot 28} \), \( y=-\frac{1005}{457 \cdot 9} \), \( z=\frac{1130}{457} \), dan potongan bidang tersebut tidak sejajar dengan bidang \( 4y+2z=6 \).