Membuktikan Konvergensi Deret Tak Hingg

Deret tak hingga adalah salah satu topik yang menarik dalam matematika. Salah satu jenis deret tak hingga yang menarik adalah deret tak hingga dengan suku-suku pecahan. Dalam artikel ini, kita akan membahas deret tak hingga dengan pola suku-suku pecahan yang menarik, yaitu deret \( \frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{32}+\frac{7}{128}+\cdots \). Tujuan kita adalah untuk membuktikan konvergensi deret ini dan menemukan nilai dari \( \frac{A}{B} \). Pertama, mari kita lihat pola suku-suku pecahan dalam deret ini. Kita dapat melihat bahwa pembilangnya adalah bilangan ganjil berturut-turut, yaitu 1, 3, 5, 7, dan seterusnya. Sedangkan penyebutnya adalah pangkat dua berturut-turut, yaitu 2, 8, 32, 128, dan seterusnya. Dengan demikian, kita dapat menulis suku ke-n dalam deret ini sebagai \( \frac{2n-1}{2^n} \). Selanjutnya, kita perlu membuktikan konvergensi deret ini. Untuk melakukannya, kita dapat menggunakan tes perbandingan. Kita akan membandingkan deret ini dengan deret geometri yang konvergen. Misalkan kita memiliki deret geometri \( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots \). Deret ini konvergen dengan rasio \( \frac{1}{2} \). Sekarang, mari kita bandingkan deret kita dengan deret geometri ini. Kita dapat melihat bahwa suku ke-n dalam deret kita adalah \( \frac{2n-1}{2^n} \), sedangkan suku ke-n dalam deret geometri adalah \( \frac{1}{2^n} \). Dengan demikian, kita dapat menulis perbandingan sebagai berikut: \[ \frac{\frac{2n-1}{2^n}}{\frac{1}{2^n}} = 2n-1 \] Dari perbandingan ini, kita dapat melihat bahwa deret kita memiliki rasio \( 2n-1 \). Karena deret geometri konvergen dengan rasio \( \frac{1}{2} \), maka deret kita juga konvergen dengan rasio \( 2n-1 \). Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa deret \( \frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{32}+\frac{7}{128}+\cdots \) konvergen. Sekarang, kita perlu mencari nilai dari \( \frac{A}{B} \). Untuk melakukannya, kita perlu menemukan batas dari deret ini. Dalam matematika, batas dari deret konvergen adalah jumlah dari semua suku deret tersebut. Namun, dalam kasus ini, mencari jumlah tak hingga suku deret ini tidaklah mudah. Namun, kita dapat menggunakan metode aljabar untuk menemukan nilai dari \( \frac{A}{B} \). Kita dapat menulis deret kita sebagai: \[ \frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{32}+\frac{7}{128}+\cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n} \] Kita dapat mengalikan kedua sisi persamaan ini dengan 2: \[ 2 \left( \frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{32}+\frac{7}{128}+\cdots \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^{n-1}} \] Kemudian, kita dapat mengurangi persamaan kedua dari persamaan pertama: \[ 2 \left( \frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{32}+\frac{7}{128}+\cdots \right) - \left( \frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{32}+\frac{7}{128}+\cdots