Analisis Fungsi Rasional \( f(x)=\frac{\left(3 x^{2}-x+7\right)}{\left(x^{2}+6\right)} \)

Fungsi rasional adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai rasio dua polinomial. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis fungsi rasional \( f(x)=\frac{\left(3 x^{2}-x+7\right)}{\left(x^{2}+6\right)} \) dan melihat beberapa karakteristik dan sifatnya. Pertama-tama, mari kita lihat domain fungsi ini. Domain adalah himpunan semua nilai x yang dapat kita masukkan ke dalam fungsi untuk mendapatkan output yang terdefinisi dengan baik. Dalam kasus fungsi rasional ini, kita harus memperhatikan pembilang dan penyebutnya. Pembilang \( 3 x^{2}-x+7 \) adalah polinomial kuadratik, yang berarti dapat mengambil semua nilai x. Namun, penyebut \( x^{2}+6 \) juga harus diperhatikan. Karena ini adalah polinomial kuadratik dengan koefisien positif, penyebutnya tidak akan pernah menjadi nol. Oleh karena itu, domain fungsi ini adalah himpunan semua bilangan real. Selanjutnya, mari kita lihat asimtot vertikal fungsi ini. Asimtot vertikal adalah garis vertikal yang mendekati grafik fungsi saat x mendekati nilai tertentu. Untuk menemukan asimtot vertikal, kita perlu mencari nilai-nilai x yang membuat penyebut fungsi ini menjadi nol. Dalam kasus ini, penyebut \( x^{2}+6 \) tidak memiliki akar nyata, sehingga tidak ada asimtot vertikal. Selanjutnya, mari kita lihat asimtot horizontal fungsi ini. Asimtot horizontal adalah garis horizontal yang mendekati grafik fungsi saat x mendekati tak hingga. Untuk menemukan asimtot horizontal, kita perlu melihat perbandingan koefisien tertinggi di pembilang dan penyebut. Dalam kasus ini, koefisien tertinggi di pembilang adalah 3 dan koefisien tertinggi di penyebut adalah 1. Oleh karena itu, asimtot horizontal adalah garis y = 0. Selain itu, kita juga dapat melihat titik potong dengan sumbu x dan sumbu y. Untuk mencari titik potong dengan sumbu x, kita perlu mencari nilai-nilai x yang membuat pembilang fungsi ini menjadi nol. Dalam kasus ini, pembilang \( 3 x^{2}-x+7 \) adalah polinomial kuadratik, yang dapat kita faktorkan atau gunakan rumus kuadrat untuk menemukan akarnya. Namun, dalam hal ini, pembilang tidak memiliki akar nyata. Oleh karena itu, tidak ada titik potong dengan sumbu x. Untuk mencari titik potong dengan sumbu y, kita perlu mencari nilai y saat x = 0. Dalam kasus ini, kita dapat mengganti x dengan 0 dalam fungsi dan mendapatkan \( f(0)=\frac{7}{6} \). Jadi, titik potong dengan sumbu y adalah (0, 7/6). Terakhir, mari kita lihat grafik fungsi ini. Karena fungsi ini memiliki asimtot horizontal di y = 0 dan tidak ada asimtot vertikal, grafiknya akan mendekati asimtot horizontal saat x mendekati tak hingga. Selain itu, karena fungsi ini memiliki domain yang meliputi semua bilangan real, grafiknya akan terlihat seperti garis melengkung yang tidak memiliki titik potong dengan sumbu x. Titik potong dengan sumbu y adalah (0, 7/6). Dalam kesimpulan, fungsi rasional \( f(x)=\frac{\left(3 x^{2}-x+7\right)}{\left(x^{2}+6\right)} \) memiliki domain yang meliputi semua bilangan real, tidak memiliki asimtot vertikal, asimtot horizontal di y = 0, tidak ada titik potong dengan sumbu x, dan titik potong dengan sumbu y adalah (0, 7/6). Grafik fungsi ini akan terlihat seperti garis melengkung yang mendekati asimtot horizontal saat x mendekati tak hingga.