Analisis Fungsi Rasional \( g(x)=\frac{2 x^{4}+3}{x^{2}-1} \)

Fungsi rasional adalah fungsi yang didefinisikan sebagai rasio dua polinomial. Dalam hal ini, kita akan menganalisis fungsi rasional \( g(x)=\frac{2 x^{4}+3}{x^{2}-1} \) dan melihat karakteristik dan sifat-sifatnya. Pertama-tama, mari kita lihat domain fungsi ini. Karena ada pembagian dengan \( x^{2}-1 \), kita harus memastikan bahwa penyebut tidak sama dengan nol. Oleh karena itu, kita harus menyelesaikan persamaan \( x^{2}-1=0 \). Dari sini, kita mendapatkan \( x=1 \) dan \( x=-1 \). Jadi, domain fungsi ini adalah semua bilangan real kecuali 1 dan -1. Selanjutnya, mari kita cari tahu apakah fungsi ini memiliki asimtot vertikal. Untuk mencari asimtot vertikal, kita perlu mencari nilai-nilai \( x \) yang membuat penyebut mendekati nol. Dalam kasus ini, kita melihat bahwa \( x^{2}-1 \) akan mendekati nol saat \( x \) mendekati 1 atau -1. Jadi, kita memiliki dua asimtot vertikal, yaitu \( x=1 \) dan \( x=-1 \). Selanjutnya, mari kita cari tahu apakah fungsi ini memiliki asimtot horizontal. Untuk mencari asimtot horizontal, kita perlu melihat tingkah laku fungsi saat \( x \) mendekati tak hingga. Dalam kasus ini, kita melihat bahwa pangkat tertinggi pada \( x \) adalah 4 pada pembilang dan 2 pada penyebut. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa fungsi ini memiliki asimtot horizontal y=0. Selain itu, kita juga dapat melihat bahwa fungsi ini memiliki titik potong dengan sumbu \( y \) saat \( x=0 \). Jika kita mengganti \( x \) dengan 0 dalam fungsi ini, kita akan mendapatkan \( g(0)=\frac{3}{-1}=-3 \). Jadi, titik potong dengan sumbu \( y \) adalah (0, -3). Selanjutnya, mari kita lihat apakah fungsi ini memiliki titik potong dengan sumbu \( x \). Untuk mencari titik potong dengan sumbu \( x \), kita perlu menyelesaikan persamaan \( \frac{2 x^{4}+3}{x^{2}-1}=0 \). Namun, karena fungsi ini tidak dapat disederhanakan lebih lanjut, kita tidak dapat menyelesaikan persamaan ini secara eksplisit. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan metode grafik atau metode numerik untuk mencari titik potong dengan sumbu \( x \). Dalam kesimpulan, fungsi rasional \( g(x)=\frac{2 x^{4}+3}{x^{2}-1} \) memiliki domain semua bilangan real kecuali 1 dan -1. Fungsi ini memiliki dua asimtot vertikal yaitu \( x=1 \) dan \( x=-1 \), serta asimtot horizontal y=0. Titik potong dengan sumbu \( y \) adalah (0, -3). Namun, kita tidak dapat menentukan titik potong dengan sumbu \( x \) secara eksplisit.