Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Melalui Titik Koordinat dan Memiliki Sumbu Simetri

Fungsi kuadrat adalah jenis fungsi matematika yang memiliki bentuk umum \(f(x) = ax^2 + bx + c\), di mana \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah konstanta. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola, yang bisa membuka ke atas atau ke bawah tergantung pada nilai \(a\). Dalam artikel ini, kita akan menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat dan memiliki sumbu simetri. Untuk menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat, kita perlu menggunakan informasi titik koordinat yang diberikan. Misalnya, jika kita diberikan titik koordinat \( (0,5) \), \( (1,6) \), dan \( (-1,12) \), kita dapat menggunakan titik-titik ini untuk menentukan nilai-nilai \(a\), \(b\), dan \(c\) dalam fungsi kuadrat. Langkah pertama adalah menentukan nilai \(c\) dalam fungsi kuadrat. Karena kita diberikan titik koordinat \( (0,5) \), kita tahu bahwa saat \(x = 0\), \(f(x) = 5\). Oleh karena itu, kita dapat menentukan bahwa \(c = 5\). Langkah berikutnya adalah menentukan nilai \(a\) dan \(b\) dalam fungsi kuadrat. Kita dapat menggunakan titik koordinat \( (1,6) \) dan \( (-1,12) \) untuk menentukan nilai-nilai ini. Kita dapat menggunakan metode substitusi atau eliminasi untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang terbentuk dari titik-titik ini. Misalnya, jika kita menggunakan metode substitusi, kita dapat menggantikan \(x\) dan \(f(x)\) dalam fungsi kuadrat dengan nilai \(x\) dan \(f(x)\) dari titik koordinat \( (1,6) \). Dengan melakukan ini, kita akan mendapatkan persamaan \(a(1)^2 + b(1) + 5 = 6\). Dengan menyederhanakan persamaan ini, kita akan mendapatkan \(a + b = 1\). Kemudian, kita dapat menggantikan \(x\) dan \(f(x)\) dalam fungsi kuadrat dengan nilai \(x\) dan \(f(x)\) dari titik koordinat \( (-1,12) \). Dengan melakukan ini, kita akan mendapatkan persamaan \(a(-1)^2 + b(-1) + 5 = 12\). Dengan menyederhanakan persamaan ini, kita akan mendapatkan \(a - b = 7\). Sekarang kita memiliki sistem persamaan linear \(a + b = 1\) dan \(a - b = 7\). Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan ini dengan metode substitusi atau eliminasi. Misalnya, jika kita menggunakan metode eliminasi, kita dapat mengurangi persamaan kedua dari persamaan pertama untuk menghilangkan \(b\). Dengan melakukan ini, kita akan mendapatkan \(2a = -6\), yang berarti \(a = -3\). Menggantikan nilai \(a\) ini ke dalam salah satu persamaan, kita dapat menentukan bahwa \(b = 4\). Dengan mengetahui nilai-nilai \(a\), \(b\), dan \(c\), kita dapat menulis fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat \( (0,5) \), \( (1,6) \), dan \( (-1,12) \). Fungsi kuadrat ini adalah \(f(x) = -3x^2 + 4x + 5\). Selain menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat, kita juga diminta untuk menentukan fungsi kuadrat yang memiliki sumbu simetri \(x = -1/2\) dan melalui titik koordinat \( (0,-2) \). Untuk menentukan fungsi kuadrat ini, kita perlu menggunakan informasi sumbu simetri dan titik koordinat yang diberikan. Sumbu simetri \(x = -1/2\) berarti bahwa parabola akan simetris terhadap garis vertikal dengan persamaan \(x = -1/2\). Karena parabola simetris, titik puncak parabola akan berada pada garis sumbu simetri ini. Oleh karena itu, kita tahu bahwa saat \(x = -1/2\), \(f(x) = -2\). Dengan menggunakan informasi ini, kita dapat menentukan nilai \(c\) dalam fungsi kuadrat. Kita dapat menulis \(f(x) = ax^2 + bx + c\) sebagai \(f(x) = a(x + 1/2)^2 - 2\). Selanjutnya, kita dapat menggunakan titik koordinat \( (0,-2) \) untuk menentukan nilai-nilai \(a\) dan \(b\) dalam fungsi kuadrat ini. Kita dapat menggantikan \(x\) dan \(f(x)\) dalam fungsi kuadrat dengan nilai \(x\) dan \(f(x)\) dari titik koordinat \( (0,-2) \). Dengan melakukan ini, kita akan mendapatkan persamaan \(a(0 + 1/2)^2 - 2 = -2\). Dengan menyederhanakan persamaan ini, kita akan mendapatkan \(a(1/2)^2 = 0\), yang berarti \(a = 0\). Dengan mengetahui nilai \(a\), kita dapat menulis fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat \( (0,-2) \) dan memiliki sumbu simetri \(x = -1/2\). Fungsi kuadrat ini adalah \(f(x) = -2\). Dalam artikel ini, kita telah menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat dan memiliki sumbu simetri. Kita telah menggunakan informasi titik koordinat dan sumbu simetri yang diberikan untuk menentukan nilai-nilai \(a\), \(b\), dan \(c\) dalam fungsi kuadrat. Dengan mengetahui nilai-nilai ini, kita dapat menulis fungsi kuadrat yang memenuhi persyaratan yang diberikan.