Menentukan Jumlah Suku Deret Aritmetik

Dalam matematika, deret aritmetika adalah deret bilangan dengan selisih konstan antara setiap dua suku berturut-turut. Dalam soal ini, kita diberikan deret aritmetika dengan suku pertama \(U_1\) dan suku ke-n \(U_n\) yang ditentukan oleh rumus \(S_n = 2n^2 + 3n\). Tugas kita adalah menentukan nilai dari \(U_2 + U_4 + U_6 + \ldots + U_{2n}\). Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu memahami rumus yang diberikan. Dalam rumus \(S_n = 2n^2 + 3n\), \(S_n\) merupakan jumlah dari \(n\) suku pertama dalam deret aritmetika. Dalam hal ini, kita ingin mencari jumlah dari suku-suku dengan indeks genap, yaitu \(U_2 + U_4 + U_6 + \ldots + U_{2n}\). Untuk mencari pola dalam deret ini, kita dapat mengamati suku-suku dengan indeks genap. Misalnya, \(U_2\) dapat ditentukan dengan mengganti \(n\) dengan 2 dalam rumus \(S_n\), sehingga \(U_2 = 2(2^2) + 3(2) = 16\). Demikian pula, \(U_4 = 2(4^2) + 3(4) = 48\) dan \(U_6 = 2(6^2) + 3(6) = 96\). Dari pola ini, kita dapat melihat bahwa setiap suku dengan indeks genap dapat ditentukan dengan rumus \(U_{2k} = 2(2k^2) + 3(2k)\), di mana \(k\) adalah bilangan bulat positif. Dengan menggunakan rumus ini, kita dapat menentukan suku-suku dengan indeks genap hingga suku ke-n. Untuk menentukan jumlah dari suku-suku dengan indeks genap, kita dapat menjumlahkan semua suku-suku tersebut. Misalnya, jika kita ingin mencari \(U_2 + U_4 + U_6\), kita dapat mengganti \(n\) dengan 3 dalam rumus \(S_n\), sehingga \(U_2 + U_4 + U_6 = 16 + 48 + 96 = 160\). Dalam soal ini, kita diminta untuk menentukan nilai dari \(U_2 + U_4 + U_6 + \ldots + U_{2n}\). Dengan menggunakan rumus yang telah kita temukan sebelumnya, kita dapat mengganti \(n\) dengan \(k\) dalam rumus \(S_n\), sehingga \(U_2 + U_4 + U_6 + \ldots + U_{2n} = 2(2^2) + 3(2) + 2(4^2) + 3(4) + \ldots + 2(2k^2) + 3(2k)\). Setelah kita menjumlahkan semua suku-suku ini, kita dapat menyederhanakan ekspresi tersebut. Dalam hal ini, jawaban yang benar adalah \(8n^2 + 10n\). Oleh karena itu, jawaban yang tepat untuk pertanyaan ini adalah D. \(8n^2 + 10n\). Dengan demikian, kita telah berhasil menentukan jumlah suku-suku deret aritmetika dengan menggunakan rumus yang diberikan.