Relasi \( \mathfrak{r} \) pada \( \mathbb{R} \) bukan merupakan relasi ekuivalen

Dalam matematika, relasi ekuivalen adalah suatu relasi yang memenuhi tiga sifat yaitu refleksif, simetris, dan transitif. Namun, dalam kasus relasi \( \mathfrak{r} \) pada himpunan bilangan riil \( \mathbb{R} \) dengan aturan \( a \mathfrak{r} b \) jika dan hanya jika \( |a-b|<2 \), relasi ini tidak memenuhi sifat transitif. Dalam artikel ini, kita akan membuktikan bahwa relasi \( \mathfrak{r} \) bukan merupakan relasi ekuivalen dengan memeriksa sifat transitifnya. Untuk membuktikan bahwa relasi \( \mathfrak{r} \) tidak transitif, kita perlu menunjukkan adanya setidaknya satu contoh yang melanggar sifat transitif. Misalkan \( a, b, c \) adalah bilangan riil yang memenuhi \( a \mathfrak{r} b \) dan \( b \mathfrak{r} c \). Dalam hal ini, kita harus menunjukkan bahwa \( a \mathfrak{r} c \) tidak berlaku. Dalam relasi \( \mathfrak{r} \), kita tahu bahwa \( |a-b|<2 \) dan \( |b-c|<2 \). Dari sini, kita dapat menyimpulkan bahwa \( -2 < a-b < 2 \) dan \( -2 < b-c < 2 \). Jika kita menjumlahkan kedua ketidaksetaraan ini, kita akan mendapatkan \( -4 < a-c < 4 \). Namun, kita tidak dapat menyimpulkan bahwa \( |a-c|<2 \) dari ketidaksetaraan ini. Sebagai contoh, pertimbangkan kasus ketika \( a = 0 \), \( b = 1 \), dan \( c = 3 \). Dalam hal ini, \( |a-b| = 1 < 2 \) dan \( |b-c| = 2 < 2 \), tetapi \( |a-c| = 3 > 2 \). Oleh karena itu, relasi \( \mathfrak{r} \) tidak memenuhi sifat transitif. Dari pembuktian di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa relasi \( \mathfrak{r} \) pada himpunan bilangan riil \( \mathbb{R} \) dengan aturan \( a \mathfrak{r} b \) jika dan hanya jika \( |a-b|<2 \) bukan merupakan relasi ekuivalen.