Mencari Persamaan Kuadrat Baru dengan Akar yang Diketahui

Dalam matematika, persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki bentuk umum $ax^2 + bx + c = 0$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta. Salah satu aspek penting dalam mempelajari persamaan kuadrat adalah menemukan persamaan baru dengan akar yang diketahui. Dalam kasus ini, kita diberikan persamaan kuadrat $x^2 - 5x + 4 = 0$ dengan akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Tugas kita adalah menemukan persamaan kuadrat baru dengan akar-akar $2x_1$ dan $2 \times 2$. Langkah pertama yang perlu kita lakukan adalah menemukan nilai dari $x_1$ dan $x_2$. Dalam persamaan kuadrat $x^2 - 5x + 4 = 0$, kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk mencari akar-akarnya. Rumus kuadrat adalah $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Dalam persamaan kuadrat $x^2 - 5x + 4 = 0$, kita memiliki $a = 1$, $b = -5$, dan $c = 4$. Menggantikan nilai-nilai ini ke dalam rumus kuadrat, kita dapat menghitung nilai dari $x_1$ dan $x_2$. $x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$ $x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$ Sekarang kita memiliki nilai dari $x_1 = 4$ dan $x_2 = 1$. Selanjutnya, kita perlu mencari persamaan kuadrat baru dengan akar-akar $2x_1$ dan $2 \times 2$. Untuk mencari persamaan kuadrat baru, kita dapat menggunakan rumus kuadrat kembali. Kali ini, kita akan menggantikan nilai-nilai $x_1 = 4$ dan $x_2 = 1$ dengan $2x_1$ dan $2 \times 2$. $x_1' = 2x_1 = 2 \cdot 4 = 8$ $x_2' = 2 \times 2 = 4$ Sekarang kita memiliki akar-akar baru $x_1' = 8$ dan $x_2' = 4$. Untuk menemukan persamaan kuadrat baru, kita perlu menggantikan nilai-nilai ini ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$. $x^2 - (x_1' + x_2')x + x_1'x_2' = 0$ $x^2 - (8 + 4)x + 8 \cdot 4 = 0$ $x^2 - 12x + 32 = 0$ Jadi, persamaan kuadrat baru dengan akar-akar $2x_1$ dan $2 \times 2$ adalah $x^2 - 12x + 32 = 0$.