Menghitung Turunan dan Koordinat Bayangan

Dalam matematika, kita seringkali perlu menghitung turunan suatu fungsi pada titik tertentu. Dalam kasus ini, kita akan mencari turunan dari fungsi $A(x)$ pada titik $(5,-3)$ dengan diketahui bahwa $A(-1,2) = (-2,-16)$ dan $P'(-14,-16)$. Untuk mencari turunan dari fungsi $A(x)$ pada titik $(5,-3)$, kita dapat menggunakan rumus turunan. Rumus turunan adalah sebagai berikut: $$A'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{A(x+h) - A(x)}{h}$$ Dalam kasus ini, kita ingin mencari $A'(5,-3)$. Kita dapat menggunakan koordinat bayangan $A(-1,2)$ dan $P'(-14,-16)$ untuk membantu kita dalam menghitung turunan ini. Pertama, kita perlu menemukan persamaan garis yang melalui titik $A(-1,2)$ dan $P'(-14,-16)$. Dengan menggunakan rumus garis lurus, kita dapat menemukan persamaan garis ini. Persamaan garis lurus adalah sebagai berikut: $$y - y_1 = m(x - x_1)$$ Dalam kasus ini, $x_1 = -1$, $y_1 = 2$, $x = -14$, dan $y = -16$. Kita dapat menggantikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan garis lurus untuk mencari $m$. $$-16 - 2 = m(-14 - (-1))$$ $$-18 = m(-13)$$ $$m = \frac{-18}{-13}$$ $$m = \frac{18}{13}$$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $A(-1,2)$ dan $P'(-14,-16)$ adalah $y - 2 = \frac{18}{13}(x - (-1))$. Selanjutnya, kita perlu mencari titik potong antara garis ini dengan sumbu $x$. Kita dapat menggantikan $y$ dengan $0$ dalam persamaan garis untuk mencari titik potong ini. $$0 - 2 = \frac{18}{13}(x - (-1))$$ $$-2 = \frac{18}{13}(x + 1)$$ $$-2 = \frac{18}{13}x + \frac{18}{13}$$ $$\frac{18}{13}x = -\frac{44}{13}$$ $$x = -\frac{44}{13} \times \frac{13}{18}$$ $$x = -\frac{44}{18}$$ $$x = -\frac{22}{9}$$ Jadi, titik potong antara garis ini dengan sumbu $x$ adalah $(-\frac{22}{9}, 0)$. Sekarang, kita dapat menggantikan nilai $x$ ini ke dalam persamaan garis untuk mencari nilai $y$. $$y - 2 = \frac{18}{13}(x - (-1))$$ $$y - 2 = \frac{18}{13}(-\frac{22}{9} - (-1))$$ $$y - 2 = \frac{18}{13}(-\frac{22}{9} + \frac{9}{9})$$ $$y - 2 = \frac{18}{13}(-\frac{22}{9} + \frac{9}{9})$$ $$y - 2 = \frac{18}{13}(-\frac{13}{9})$$ $$y - 2 = -\frac{18}{9}$$ $$y - 2 = -2$$ $$y = 0$$ Jadi, titik potong antara garis ini dengan sumbu $y$ adalah $(0, 0)$. Sekarang, kita dapat menggunakan rumus turunan untuk mencari $A'(5,-3)$. Kita perlu menggantikan nilai $x$ dan $h$ ke dalam rumus turunan. $$A'(5,-3) = \lim_{h \to 0} \frac{A(5+h, -3) - A(5,-3)}{h}$$ Kita dapat menggunakan titik potong antara garis ini dengan sumbu $x$ dan sumbu $y$ sebagai titik referensi untuk mencari nilai $A(5+h, -3)$ dan $A(5,-3)$. Jadi, dengan menggunakan rumus turunan dan titik referensi yang telah kita temukan, kita dapat menghitung $A'(5,-3)$. Dalam matematika, menghitung turunan dan koordinat bayangan adalah salah satu konsep yang penting. Dengan memahami konsep ini, kita dapat memahami perubahan suatu fungsi pada titik tertentu dan bagaimana fungsi tersebut berinteraksi dengan garis lurus.