Menentukan Nilai dari Ekspresi Logaritm

Dalam matematika, logaritma adalah fungsi yang sangat penting dan sering digunakan dalam berbagai bidang. Salah satu bentuk logaritma yang sering muncul adalah logaritma berpangkat dua. Dalam artikel ini, kita akan mencoba menentukan nilai dari ekspresi logaritma yang diberikan. Pertanyaan yang diberikan adalah jika \( { }^{2} \log (x-y)=1 \), maka nilai dari \( { }^{4} \log \left(\frac{2}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right) \). Untuk menyelesaikan pertanyaan ini, kita perlu menggunakan properti logaritma dan melakukan beberapa manipulasi aljabar. Pertama, mari kita perhatikan persamaan \( { }^{2} \log (x-y)=1 \). Dalam bentuk logaritma, ini dapat ditulis sebagai \( \log (x-y)=\frac{1}{2} \). Dari sini, kita dapat mengubah persamaan menjadi bentuk eksponensial, yaitu \( 10^{\frac{1}{2}}=x-y \). Dengan mengkuadratkan kedua sisi persamaan, kita mendapatkan \( 10= (x-y)^{2} \). Sekarang, mari kita fokus pada ekspresi logaritma yang diberikan, yaitu \( { }^{4} \log \left(\frac{2}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right) \). Untuk mempermudah perhitungan, kita dapat menggunakan properti logaritma yang mengatakan bahwa \( { }^{n} \log (a-b)=\frac{1}{n} \log \left(\frac{a}{b}\right) \). Dengan menggunakan properti ini, kita dapat menyederhanakan ekspresi menjadi \( \frac{1}{4} \log \left(\frac{\frac{2}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}{\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}\right) \). Sekarang, mari kita evaluasi ekspresi dalam tanda kurung. Dengan membagi kedua pecahan, kita dapat menyederhanakan menjadi \( \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} \). Kita dapat mengalikan kedua pecahan dengan konjugat dari penyebut, yaitu \( \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} \times \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \). Setelah melakukan perkalian, kita mendapatkan \( \frac{x+2\sqrt{xy}+y}{x-y} \). Sekarang, mari kita kembali ke ekspresi logaritma kita. Dengan mengganti ekspresi dalam tanda kurung dengan hasil evaluasi kita, kita mendapatkan \( \frac{1}{4} \log \left(\frac{x+2\sqrt{xy}+y}{x-y}\right) \). Sekarang, kita dapat menggunakan properti logaritma lainnya yang mengatakan bahwa \( \log (a^{n})=n \log (a) \). Dengan menggunakan properti ini, kita dapat menyederhanakan ekspresi menjadi \( \frac{1}{4} \left(\log (x+2\sqrt{xy}+y)-\log (x-y)\right) \). Sekarang, mari kita kembali ke persamaan awal kita, \( 10= (x-y)^{2} \). Dengan mengakar kedua sisi persamaan, kita mendapatkan \( \sqrt{10}=x-y \). Dengan menggantikan nilai ini ke dalam ekspresi logaritma kita, kita mendapatkan \( \frac{1}{4} \left(\log (x+2\sqrt{xy}+y)-\log (\sqrt{10})\right) \). Dengan melakukan perhitungan lebih lanjut, kita dapat menyederhanakan ekspresi menjadi \( \frac{1}{4} \left(\log (x+2\sqrt{xy}+y)-\frac{1}{2}\log (10)\right) \). Jadi, jawaban yang benar adalah \( \frac{1}{4} \left(\log (x+2\sqrt{xy}+y)-\frac{1}{2}\log (10)\right) \), yang sesuai dengan pilihan jawaban C \( { }^{2} \log (x-4) / 4 \). Dalam artikel ini, kita telah menggunakan properti logaritma dan melakukan manipulasi aljabar untuk menentukan nilai dari ekspresi logaritma yang diberikan. Dengan pemahaman yang baik tentang logaritma dan kemampuan dalam melakukan manipulasi aljabar, kita dapat dengan mudah menyelesaikan pertanyaan seperti ini.