Analisis Fungsi Rasional \( g(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}-1} \)

Fungsi rasional adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai pecahan polinomial, di mana pembilang dan penyebutnya adalah polinomial. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis fungsi rasional \( g(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}-1} \) dan melihat beberapa sifat dan karakteristiknya. Pertama-tama, mari kita lihat domain fungsi ini. Domain adalah himpunan semua nilai x yang dapat kita masukkan ke dalam fungsi tanpa menyebabkan pembagian dengan nol. Dalam kasus ini, penyebut fungsi kita adalah \( x^{2}-1 \), yang akan menjadi nol ketika \( x=1 \) atau \( x=-1 \). Oleh karena itu, domain fungsi \( g(x) \) adalah semua nilai x kecuali 1 dan -1. Selanjutnya, kita dapat mencari titik-titik stasioner fungsi ini. Titik stasioner adalah titik di mana turunan pertama fungsi sama dengan nol. Untuk mencari titik-titik ini, kita perlu mencari turunan pertama fungsi \( g(x) \). Dengan menggunakan aturan turunan bagi, kita dapat menghitung turunan pertama sebagai berikut: \( g'(x) = \frac{(x^{2}-1)(2x)-(x^{2}-4)(2x)}{(x^{2}-1)^{2}} \) Sekarang, kita dapat mencari titik-titik stasioner dengan menyelesaikan persamaan \( g'(x) = 0 \). Namun, setelah melakukan perhitungan, kita akan melihat bahwa tidak ada titik stasioner dalam fungsi ini. Selanjutnya, kita dapat melihat asimtot vertikal dari fungsi ini. Asimtot vertikal adalah garis vertikal di mana fungsi mendekati tak terhingga positif atau negatif saat x mendekati nilai tertentu. Dalam kasus ini, kita memiliki dua asimtot vertikal, yaitu x = 1 dan x = -1. Ketika x mendekati 1 atau -1 dari sisi kiri atau kanan, fungsi kita mendekati tak terhingga positif atau negatif. Selain itu, kita juga dapat melihat asimtot horizontal dari fungsi ini. Asimtot horizontal adalah garis horizontal di mana fungsi mendekati nilai tertentu saat x mendekati tak terhingga positif atau negatif. Untuk mencari asimtot horizontal, kita perlu melihat perbandingan koefisien tertinggi dari pembilang dan penyebut fungsi kita. Dalam kasus ini, koefisien tertinggi dari pembilang dan penyebut adalah 1. Oleh karena itu, kita memiliki asimtot horizontal y = 1. Terakhir, kita dapat melihat grafik fungsi ini untuk mendapatkan pemahaman visual tentang sifat dan karakteristiknya. Grafik fungsi \( g(x) \) akan memiliki lubang di x = 1 dan x = -1, serta asimtot vertikal di x = 1 dan x = -1. Selain itu, kita juga akan melihat asimtot horizontal di y = 1. Dalam kesimpulan, fungsi rasional \( g(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}-1} \) memiliki domain semua nilai x kecuali 1 dan -1. Fungsi ini tidak memiliki titik stasioner, tetapi memiliki asimtot vertikal di x = 1 dan x = -1, serta asimtot horizontal di y = 1. Grafik fungsi ini akan memiliki lubang di x = 1 dan x = -1. Dengan menganalisis sifat dan karakteristik ini, kita dapat memahami lebih lanjut tentang fungsi rasional \( g(x) \) dan bagaimana ia berperilaku dalam berbagai situasi.