Menganalisis Batas Fungsi \( \lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}+1\right)(3 x-1) \)

Dalam matematika, batas fungsi adalah konsep yang penting dalam mempelajari perilaku fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}+1\right)(3 x-1) \) dan melihat bagaimana fungsi ini berperilaku saat x mendekati 2. Pertama-tama, mari kita evaluasi fungsi ini secara langsung saat x mendekati 2. Substitusikan x dengan 2 dalam fungsi tersebut: \( \lim _{x \rightarrow 2}\left(2^{2}+1\right)(3 \cdot 2-1) \) \( = \lim _{x \rightarrow 2}\left(4+1\right)(6-1) \) \( = \lim _{x \rightarrow 2}\left(5\right)(5) \) \( = 25 \) Dari evaluasi langsung ini, kita dapat melihat bahwa batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}+1\right)(3 x-1) \) saat x mendekati 2 adalah 25. Namun, kita juga dapat menggunakan metode aljabar untuk menganalisis batas fungsi ini. Pertama, kita dapat menyederhanakan fungsi tersebut dengan mengalikan faktor-faktor dalam tanda kurung: \( \lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}+1\right)(3 x-1) \) \( = \lim _{x \rightarrow 2}\left(3 x^{3}-x^{2}+3 x-1\right) \) Kemudian, kita dapat menggunakan sifat-sifat batas untuk mempermudah analisis. Misalnya, kita dapat menggunakan sifat distributif untuk memisahkan fungsi menjadi dua bagian: \( \lim _{x \rightarrow 2}\left(3 x^{3}-x^{2}+3 x-1\right) \) \( = \lim _{x \rightarrow 2}\left(3 x^{3}-x^{2}\right) + \lim _{x \rightarrow 2}\left(3 x-1\right) \) Selanjutnya, kita dapat menggunakan sifat batas aljabar untuk mengevaluasi masing-masing bagian: \( \lim _{x \rightarrow 2}\left(3 x^{3}-x^{2}\right) \) \( = 3 \cdot \lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{3}\right) - \lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}\right) \) \( = 3 \cdot 2^{3} - 2^{2} \) \( = 3 \cdot 8 - 4 \) \( = 24 - 4 \) \( = 20 \) \( \lim _{x \rightarrow 2}\left(3 x-1\right) \) \( = 3 \cdot \lim _{x \rightarrow 2}\left(x\right) - \lim _{x \rightarrow 2}\left(1\right) \) \( = 3 \cdot 2 - 1 \) \( = 6 - 1 \) \( = 5 \) Kemudian, kita dapat menjumlahkan hasil dari kedua bagian tersebut untuk mendapatkan batas fungsi keseluruhan: \( \lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}+1\right)(3 x-1) \) \( = 20 + 5 \) \( = 25 \) Dengan menggunakan metode aljabar, kita juga mendapatkan hasil yang sama, yaitu batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}+1\right)(3 x-1) \) saat x mendekati 2 adalah 25. Dalam kesimpulan, kita telah menganalisis batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}+1\right)(3 x-1) \) dengan menggunakan evaluasi langsung dan metode aljabar. Kedua metode memberikan hasil yang sama, yaitu 25.