Menghitung Turunan Fungsi Menggunakan Konsep Limit

Dalam matematika, turunan adalah salah satu konsep yang sangat penting. Turunan digunakan untuk menghitung perubahan suatu fungsi pada suatu titik tertentu. Dalam artikel ini, kita akan menggunakan konsep limit untuk menghitung turunan dari beberapa fungsi yang diberikan. a. Fungsi \( f(x)=\sqrt{x} \) Untuk menghitung turunan dari fungsi ini, kita perlu menggunakan konsep limit. Kita dapat menggunakan rumus turunan umum \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x+h)-f(x)}}{h} \). Dalam kasus ini, kita memiliki \( f(x)=\sqrt{x} \). Mari kita terapkan rumus turunan umum ini. \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}}{h} \) Kita dapat menyederhanakan ekspresi ini dengan mengalikan kedua bagian dengan konjugat dari penyebut. \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} \) \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{(x+h)-x}}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} \) \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{h}}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} \) \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{1}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} \) \( f^{\prime}(x)=\frac{{1}}{2\sqrt{x}} \) Jadi, turunan dari fungsi \( f(x)=\sqrt{x} \) adalah \( f^{\prime}(x)=\frac{{1}}{2\sqrt{x}} \). b. Fungsi \( f(x)=\frac{{10}}{x} \) Untuk menghitung turunan dari fungsi ini, kita akan menggunakan konsep limit lagi. Kita dapat menggunakan rumus turunan umum \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x+h)-f(x)}}{h} \). Dalam kasus ini, kita memiliki \( f(x)=\frac{{10}}{x} \). Mari kita terapkan rumus turunan umum ini. \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{\frac{{10}}{{x+h}}-\frac{{10}}{{x}}}}{h} \) Kita dapat menyederhanakan ekspresi ini dengan mengalikan kedua bagian dengan konjugat dari penyebut. \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{(10x-10(x+h))}}{{hx(x+h)}} \) \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{10x-10x-10h}}{{hx(x+h)}} \) \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{-10h}}{{hx(x+h)}} \) \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{-10}}{{x(x+h)}} \) \( f^{\prime}(x)=\frac{{-10}}{{x^{2}}} \) Jadi, turunan dari fungsi \( f(x)=\frac{{10}}{{x}} \) adalah \( f^{\prime}(x)=\frac{{-10}}{{x^{2}}} \). c. Fungsi \( f(x)=x^{6}+x^{-2} \) Untuk menghitung turunan dari fungsi ini, kita akan menggunakan konsep limit lagi. Kita dapat menggunakan rumus turunan umum \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x+h)-f(x)}}{h} \). Dalam kasus ini, kita memiliki \( f(x)=x^{6}+x^{-2} \). Mari kita terapkan rumus turunan umum ini. \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{(x+h)^{6}+(x+h)^{-2}-(x^{6}+x^{-2})}}{{h}} \) Kita dapat menyederhanakan ekspresi ini dengan mengalikan kedua bagian dengan konjugat dari penyebut. \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{(x+h)^{6}(x+h)^{-2}-(x^{6}+x^{-2})(x+h)^{-2}}}{{h(x+h)^{-2}}} \) \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{(x+h)^{4}-(x^{6}+x^{-2})(x+h)^{-2}}}{{h(x+h)^{-2}}} \) \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{(x+h)^{4}-x^{4}-x^{-4}}}{{h(x+h)^{-2}}} \) \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{(x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4})-x^{4}-x^{-4}}}{{h(x+h)^{-2}}} \) \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}-x^{-4}}}{{h(x+h)^{-2}}} \) \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{4x^{3}+6x^{2}h+4xh^{2}+h^{3}-x^{-4}h^{-1}}}{{(x+h)^{-2}}} \) \( f^{\prime}(x)=4x^{3} \) Jadi, turunan dari fungsi \( f(x)=x^{6}+x^{-2} \) adalah \( f^{\prime}(x)=4x^{3} \). d. Fungsi \( f(x)=6x^{2}+2x+10 \) Untuk menghitung turunan dari fungsi ini, kita akan menggunakan konsep limit lagi. Kita dapat menggunakan rumus turunan umum \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x+h)-f(x)}}{h} \). Dalam kasus ini, kita memiliki \( f(x)=6x^{2}+2x+10 \). Mari kita terapkan rumus turunan umum ini. \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{6(x+h)^{2}+2(x+h)+10-(6x^{2}+2x+10)}}{{h}} \) \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{6(x^{2}+2xh+h^{2})+2x+2h+10-6x^{2}-2x-10}}{{h}} \) \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{6x^{2}+12xh+6h^{2}+2x+2h+10-6x^{2}-2x-10}}{{h}} \) \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{12xh+6h^{2}+2h}}{{h}} \) \( f^{\prime}(x)=\lim_{{h \to 0}} (12x+6h+2) \) \( f^{\prime}(x)=12x+2 \) Jadi, turunan dari fungsi \( f(x)=6x^{2}+2x+10 \) adalah \( f^{\prime}(x)=12x+2 \). Dalam artikel ini, kita telah menggunakan konsep limit untuk menghitung turunan dari beberapa fungsi. Dengan memahami konsep ini, kita dapat menghitung turunan dari fungsi-fungsi lainnya juga.