Mencari Nilai $p^{2}+q^{2}$ dari Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah salah satu topik yang sering muncul dalam matematika. Dalam artikel ini, kita akan mencari nilai $p^{2}+q^{2}$ dari persamaan kuadrat yang diberikan. Persamaan kuadrat yang diberikan adalah $3p x^{2}-9x+20=0$. Kita akan menggunakan akar-akar persamaan ini, yaitu p dan q, untuk mencari nilai yang diminta. Langkah pertama dalam mencari nilai $p^{2}+q^{2}$ adalah menemukan akar-akar persamaan kuadrat. Dalam persamaan ini, koefisien a adalah 3, koefisien b adalah -9, dan koefisien c adalah 20. Kita dapat menggunakan rumus kuadratik untuk mencari akar-akar persamaan ini. Rumus kuadratik adalah $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$. Dalam kasus ini, kita memiliki a=3, b=-9, dan c=20. Mari kita gunakan rumus ini untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Pertama, kita akan mencari diskriminan, yaitu $b^{2}-4ac$. Dalam kasus ini, diskriminan adalah $(-9)^{2}-4(3)(20)=81-240=-159$. Karena diskriminan negatif, persamaan kuadrat ini tidak memiliki akar real. Namun, kita masih dapat mencari nilai $p^{2}+q^{2}$ dengan menggunakan akar-akar kompleks. Ketika diskriminan negatif, akar-akar persamaan kuadrat kompleks dan diberikan oleh $x=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a}$. Dalam kasus ini, kita memiliki $x=\frac{-(-9)\pm i\sqrt{159}}{2(3)}=\frac{9\pm i\sqrt{159}}{6}$. Jadi, akar-akar persamaan kuadrat ini adalah $\frac{9+i\sqrt{159}}{6}$ dan $\frac{9-i\sqrt{159}}{6}$. Sekarang, kita dapat mencari nilai $p^{2}+q^{2}$. Karena p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat ini, kita dapat menggantikan x dengan p dan q dalam persamaan kuadrat. Jadi, $p^{2}+q^{2}=\left(\frac{9+i\sqrt{159}}{6}\right)^{2}+\left(\frac{9-i\sqrt{159}}{6}\right)^{2}$. Mari kita selesaikan persamaan ini. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan rumus binomial kuadrat untuk menghitung kuadrat dari binomial. Jadi, $p^{2}+q^{2}=\frac{81+18i\sqrt{159}-159+81-18i\sqrt{159}}{36}=\frac{162}{36}=\frac{9}{2}$. Jadi, nilai $p^{2}+q^{2}$ dari persamaan kuadrat ini adalah $\frac{9}{2}$.