Transformasi Geometri pada Garis dan Persamaanny

Garis g didefinisikan oleh persamaan $y = 5 - 3x$. Garis ini kemudian diputar sebesar $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat $(2,1)$ dan ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$. Transformasi ini menghasilkan persamaan bayangan baru yang dapat ditemukan dengan menggabungkan semua transformasi tersebut. Untuk memutar garis, kita dapat menggunakan rumus untuk memutar titik $(x,y)$ sebesar $\theta$ dalam arah berlawanan arah jarum jam: $$x' = x \cos(\theta) - y \sin(\theta)$$ $$y' = x \sin(\theta) + y \cos(\theta)$$ Dalam kasus ini, kita memiliki $\theta = 90^\circ$, sehingga kita mendapatkan: $$x' = -y$$ $$y' = x$$ Sekarang, kita perlu menerapkan transformasi translasi. Dengan menggunakan rumus untuk translasi titik $(x,y)$ dengan vektor $T = \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}$: $$x'' = x' + h$$ $$y'' = y' + k$$ Dalam kasus ini, kita memiliki $h = 2$ dan $k = -3$, sehingga kita mendapatkan: $$x'' = -y + 2$$ $$y'' = x - 3$$ Kita dapat menggabungkan kedua transformasi ini dengan menggabungkan koefisien dari $x'$ dan $y'$: $$x'' = -y + 2 = -(-y + 2) = y - 2$$ $$y'' = x - 3 = -(x - 3) = -x + 3$$ Jadi, persamaan bayangan dari garis yang telah dirotasi dan ditranslasikan adalah $x'' = y - 2$ dan $y'' = -x + 3$.