Buktikan bahwa \( (A-B)-C=(A-C)-(B-C) \)

Dalam matematika, sering kali kita dihadapkan pada tugas untuk membuktikan pernyataan tertentu. Salah satu pernyataan yang sering muncul adalah \( (A-B)-C=(A-C)-(B-C) \), di mana \( A \), \( B \), dan \( C \) adalah subhimpunan dari himpunan semesta \( S \). Dalam artikel ini, kita akan membahas dan membuktikan pernyataan ini menggunakan logika dan aljabar himpunan. Pertama-tama, mari kita definisikan beberapa konsep dasar yang akan kita gunakan dalam pembuktian ini. \( A-B \) adalah himpunan yang terdiri dari elemen-elemen yang ada di \( A \) tetapi tidak ada di \( B \). Dengan kata lain, \( A-B \) adalah himpunan perbedaan antara \( A \) dan \( B \). Selanjutnya, \( (A-B)-C \) adalah himpunan perbedaan antara \( A-B \) dan \( C \). Pada sisi kanan persamaan, \( A-C \) adalah himpunan perbedaan antara \( A \) dan \( C \), dan \( B-C \) adalah himpunan perbedaan antara \( B \) dan \( C \). Kemudian, \( (A-C)-(B-C) \) adalah himpunan perbedaan antara \( A-C \) dan \( B-C \). Untuk membuktikan bahwa \( (A-B)-C=(A-C)-(B-C) \), kita perlu membuktikan bahwa kedua himpunan tersebut memiliki elemen-elemen yang sama. Dalam hal ini, kita akan menggunakan metode pembuktian dengan inklusi dan eksklusi. Pertama, mari kita buktikan bahwa \( (A-B)-C \subseteq (A-C)-(B-C) \). Misalkan \( x \) adalah elemen dari \( (A-B)-C \). Ini berarti \( x \) ada di \( A-B \) tetapi tidak ada di \( C \). Kita perlu menunjukkan bahwa \( x \) juga ada di \( (A-C)-(B-C) \). Jika \( x \) ada di \( A-B \), maka \( x \) ada di \( A \) tetapi tidak ada di \( B \). Jika \( x \) tidak ada di \( C \), maka \( x \) ada di \( A-C \). Jika \( x \) tidak ada di \( B-C \), maka \( x \) ada di \( (A-C)-(B-C) \). Oleh karena itu, \( (A-B)-C \subseteq (A-C)-(B-C) \). Selanjutnya, mari kita buktikan bahwa \( (A-C)-(B-C) \subseteq (A-B)-C \). Misalkan \( y \) adalah elemen dari \( (A-C)-(B-C) \). Ini berarti \( y \) ada di \( A-C \) tetapi tidak ada di \( B-C \). Kita perlu menunjukkan bahwa \( y \) juga ada di \( (A-B)-C \). Jika \( y \) ada di \( A-C \), maka \( y \) ada di \( A \) tetapi tidak ada di \( C \). Jika \( y \) tidak ada di \( B-C \), maka \( y \) ada di \( A-B \). Jika \( y \) tidak ada di \( C \), maka \( y \) ada di \( (A-B)-C \). Oleh karena itu, \( (A-C)-(B-C) \subseteq (A-B)-C \). Dengan membuktikan kedua inklusi ini, kita dapat menyimpulkan bahwa \( (A-B)-C=(A-C)-(B-C) \). Oleh karena itu, pernyataan ini terbukti. Dalam pembuktian ini, kita menggunakan logika dan aljabar himpunan untuk membuktikan pernyataan \( (A-B)-C=(A-C)-(B-C) \). Dengan memahami konsep dasar himpunan dan menggunakan metode pembuktian dengan inklusi dan eksklusi, kita dapat memahami dan membuktikan pernyataan ini.