Bentuk Rational dari Akar

Dalam matematika, bentuk rasional adalah bentuk pecahan yang memiliki penyebut dan pembilang berupa bilangan bulat. Dalam hal ini, kita akan mencari bentuk rasional dari dua bentuk akar yang diberikan. Bentuk pertama yang akan kita bahas adalah \(\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{5}+6 \sqrt{2}}\). Untuk mencari bentuk rasionalnya, kita perlu menyederhanakan denominasi. Dalam kasus ini, kita akan menggunakan metode konjugat untuk menyederhanakan denominasi. Metode konjugat melibatkan mengalikan baik pembilang maupun penyebut dengan konjugat dari penyebut asli. Dalam kasus ini, konjugat dari \(3 \sqrt{5}+6 \sqrt{2}\) adalah \(3 \sqrt{5}-6 \sqrt{2}\). Jadi kita akan mengalikan baik pembilang maupun penyebut dengan \(3 \sqrt{5}-6 \sqrt{2}\): \[ \frac{2 \sqrt{2} \cdot (3 \sqrt{5}-6 \sqrt{2})}{(3 \sqrt{5}+6 \sqrt{2}) \cdot (3 \sqrt{5}-6 \sqrt{2})} \] Sekarang kita dapat menyederhanakan denominasi dengan mengalikan faktor-faktor yang sesuai: \[ \frac{6 \sqrt{10}-12 \cdot 2}{(3 \sqrt{5})^2-(6 \sqrt{2})^2} \] \[ \frac{6 \sqrt{10}-24}{9 \cdot 5 - 36 \cdot 2} \] \[ \frac{6 \sqrt{10}-24}{45 - 72} \] \[ \frac{6 \sqrt{10}-24}{-27} \] Sekarang kita dapat menyederhanakan bentuk rasionalnya dengan membagi pembilang dan penyebut dengan -27: \[ \frac{\frac{6 \sqrt{10}-24}{-27}}{-27} \] \[ \frac{24 - 6 \sqrt{10}}{27} \] Jadi, bentuk rasional dari \(\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{5}+6 \sqrt{2}}\) adalah \(\frac{24 - 6 \sqrt{10}}{27}\). Selanjutnya, kita akan mencari bentuk rasional dari \(\frac{8-2 \sqrt{10}}{9}\). Untuk mencari bentuk rasionalnya, kita juga perlu menyederhanakan denominasi. Dalam hal ini, kita akan menggunakan metode konjugat lagi untuk menyederhanakan denominasi. Konjugat dari \(9\) adalah \(9\), jadi kita akan mengalikan baik pembilang maupun penyebut dengan \(9\): \[ \frac{(8-2 \sqrt{10}) \cdot 9}{9 \cdot 9} \] \[ \frac{72-18 \sqrt{10}}{81} \] Sekarang kita dapat menyederhanakan bentuk rasionalnya dengan membagi pembilang dan penyebut dengan \(81\): \[ \frac{\frac{72-18 \sqrt{10}}{81}}{81} \] \[ \frac{72-18 \sqrt{10}}{81 \cdot 81} \] \[ \frac{72-18 \sqrt{10}}{6561} \] Jadi, bentuk rasional dari \(\frac{8-2 \sqrt{10}}{9}\) adalah \(\frac{72-18 \sqrt{10}}{6561}\). Dalam kedua kasus ini, kita berhasil mencari bentuk rasional dari bentuk akar yang diberikan dengan menggunakan metode konjugat. Metode ini sangat berguna dalam menyederhanakan denominasi dan menghasilkan bentuk pecahan yang lebih sederhana. Dengan memahami metode ini, kita dapat lebih mudah memahami dan bekerja dengan bentuk-bentuk rasional dalam matematika.