Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dengan Metode Eliminasi Gauss

Sistem persamaan linier adalah kumpulan persamaan linear yang memiliki variabel yang sama. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, kita dapat menggunakan berbagai metode, salah satunya adalah metode eliminasi Gauss. Metode eliminasi Gauss melibatkan langkah-langkah berikut: 1. Menyusun sistem persamaan linier dalam bentuk matriks augmented. 2. Menggunakan operasi baris elementer untuk mengubah matriks augmented menjadi bentuk matriks segitiga atas. 3. Menggunakan substitusi mundur untuk menemukan solusi dari sistem persamaan linier. Misalnya, kita memiliki sistem persamaan linier berikut: \[ \begin{align*} -x+3y &= 3 \\ 2x-6y &= -4 \end{align*} \] Langkah pertama adalah menyusun sistem persamaan linier dalam bentuk matriks augmented: \[ \begin{bmatrix} -1 & 3 & | & 3 \\ 2 & -6 & | & -4 \end{bmatrix} \] Kemudian, kita menggunakan operasi baris elementer untuk mengubah matriks augmented menjadi bentuk matriks segitiga atas. Operasi baris elementer melibatkan penggantian baris, penggantian baris dengan baris yang dikalikan dengan suatu konstanta, dan penjumlahan atau pengurangan baris. Setelah melakukan operasi baris elementer, kita mendapatkan matriks segitiga atas berikut: \[ \begin{bmatrix} 2 & -6 & | & -4 \\ 0 & 9 & | & 5 \end{bmatrix} \] Langkah terakhir adalah menggunakan substitusi mundur untuk menemukan solusi dari sistem persamaan linier. Substitusi mundur melibatkan memulai dari persamaan terakhir dan menggantikan variabel yang diketahui dengan nilai-nilai yang telah ditemukan. Dalam contoh ini, kita dapat menyelesaikan sistem persamaan linier dengan substitusi mundur sebagai berikut: \[ \begin{align*} 9y &= 5 \\ 2x - 6y &= -4 \end{align*} \] Dari persamaan pertama, kita dapat menentukan nilai y: \[ y = \frac{5}{9} \] Kemudian, kita dapat menggantikan nilai y ke dalam persamaan kedua untuk menentukan nilai x: \[ 2x - 6\left(\frac{5}{9}\right) = -4 \] Dari persamaan ini, kita dapat menentukan nilai x: \[ x = \frac{7}{3} \] Jadi, solusi dari sistem persamaan linier ini adalah x = 7/3 dan y = 5/9.