Keberadaan Fungsi Kontinu dalam Selang [-1,1]

Dalam matematika, kita seringkali perlu menunjukkan bahwa batas fungsi saat x mendekati setiap titik dalam suatu selang tertentu sama dengan nilai fungsi di titik tersebut. Salah satu metode yang digunakan untuk tujuan ini adalah metode limit yang dikenal sebagai substitusi langsung.

Misalnya, jika kita ingin menunjukkan bahwa batas dari fungsi akar kuadrat $\sqrt{1-x^2}$ saat x mendekati suatu titik a dalam selang [-1,1] adalah $\sqrt{1-a^2}$, kita dapat menggunakan metode substitusi langsung. Dalam hal ini, kita perlu menunjukkan bahwa $\lim_{x \to a} \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-a^2}$.

Untuk membuktikan hal ini, kita dapat menggunakan properti limit aljabar yang memungkinkan kita untuk memanipulasi ekspresi limit. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan properti limit akar kuadrat yang menyatakan bahwa $\lim_{x \to a} \sqrt{x} = \sqrt{a}$.

Dengan menggunakan properti ini, kita dapat menyederhanakan ekspresi limit menjadi $\sqrt{1-a^2}$, yang merupakan nilai fungsi di titik a. Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa batas dari fungsi $\sqrt{1-x^2}$ saat x mendekati titik a dalam selang [-1,1] adalah $\sqrt{1-a^2}$.

Selain itu, penting untuk dicatat bahwa fungsi $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ merupakan fungsi elemen dasar yang kontinu. Hal ini dapat dilihat dari fakta bahwa fungsi ini merupakan kombinasi dari fungsi kuadrat dan akar kuadrat, yang keduanya kontinu di seluruh domain mereka.

Dalam kesimpulan, kita telah membuktikan bahwa batas fungsi saat x mendekati setiap titik dalam selang [-1,1] sama dengan nilai fungsi di titik tersebut menggunakan metode substitusi langsung. Selain itu, kita juga telah menunjukkan bahwa fungsi $\sqrt{1-x^2}$ merupakan fungsi kontinu karena merupakan kombinasi dari fungsi kuadrat dan akar kuadrat.