Solusi Umum Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan diferensial parsial yang diberikan adalah: $3\frac {\partial Z}{\partial y}+6\frac {\partial Z}{\partial x}=6y$ Tugas kita adalah menentukan solusi umum dari persamaan ini. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial ini, kita dapat menggunakan metode pemisahan variabel. Kita asumsikan bahwa solusi dari persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk $Z(x,y) = X(x)Y(y)$. Dengan menggantikan $Z(x,y)$ dengan $X(x)Y(y)$ dalam persamaan diferensial parsial, kita dapat memisahkan variabelnya menjadi dua persamaan diferensial biasa: $3Y\frac {dX}{dy}+6X\frac {dY}{dx}=6y$ Karena persamaan ini harus berlaku untuk setiap nilai $x$ dan $y$, maka kedua persamaan harus sama dengan konstanta yang sama. Mari kita asumsikan konstanta ini sebagai $k$. Maka kita memiliki: $3Y\frac {dX}{dy} = kX$ dan $6X\frac {dY}{dx} = 6y - k$ Mari kita selesaikan persamaan pertama terlebih dahulu. Dengan membagi kedua sisi dengan $X$ dan membagi kedua sisi dengan $Y$, kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi: $\frac {1}{X}\frac {dX}{dy} = \frac {k}{3Y}$ $\frac {1}{X}dX = \frac {k}{3Y}dy$ Integrasi kedua sisi persamaan ini akan memberikan: $\ln|X| = \frac {k}{3}\ln|Y| + C_1$ Dengan mengaplikasikan eksponensial pada kedua sisi persamaan, kita dapat menulis: $|X| = e^{\frac {k}{3}\ln|Y| + C_1}$ $|X| = e^{\ln|Y|^{\frac {k}{3}} + C_1}$ $|X| = e^{\ln|Y|^{\frac {k}{3}}}e^{C_1}$ $|X| = C_2|Y|^{\frac {k}{3}}$ Karena $C_2$ adalah konstanta, kita dapat menulisnya sebagai $C_2 = \pm e^{C_1}$. Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial parsial adalah: $Z(x,y) = \pm e^{C_1}|Y|^{\frac {k}{3}}$ Namun, kita masih perlu menyelesaikan persamaan kedua: $6X\frac {dY}{dx} = 6y - k$ Dengan membagi kedua sisi dengan $6X$ dan membagi kedua sisi dengan $6y - k$, kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi: $\frac {1}{Y}\frac {dY}{dx} = \frac {1}{X}\frac {6y - k}{6X}$ $\frac {1}{Y}dY = \frac {1}{X}\frac {6y - k}{6X}dx$ Integrasi kedua sisi persamaan ini akan memberikan: $\ln|Y| = \int \frac {1}{X}\frac {6y - k}{6X}dx + C_3$ Dengan mengaplikasikan eksponensial pada kedua sisi persamaan, kita dapat menulis: $|Y| = e^{\int \frac {1}{X}\frac {6y - k}{6X}dx + C_3}$ $|Y| = e^{\int \frac {6y - k}{6X^2}dx + C_3}$ $|Y| = e^{\frac {6y - k}{6X^2} + C_3}$ $|Y| = C_4e^{\frac {6y - k}{6X^2}}$ Karena $C_4$ adalah konstanta, kita dapat menulisnya sebagai $C_4 = \pm e^{C_3}$. Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial parsial adalah: $Z(x,y) = \pm e^{C_1}|Y|^{\frac {k}{3}}