Menganalisis Batas Fungsi \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{3 x-3}{x^{2}-9 x+3} \)

Dalam matematika, batas fungsi adalah konsep penting yang digunakan untuk memahami perilaku suatu fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{3 x-3}{x^{2}-9 x+3} \) dan melihat bagaimana kita dapat menentukan nilai batasnya. Untuk menghitung batas fungsi ini, kita dapat menggunakan beberapa metode, seperti substitusi langsung atau faktorisasi. Namun, dalam kasus ini, faktorisasi akan menjadi metode yang lebih efektif. Mari kita mulai dengan memfaktorkan penyebut fungsi \(x^{2}-9 x+3\). Dengan menggunakan metode faktorisasi, kita dapat menulisnya sebagai \((x-3)(x-1)\). Perhatikan bahwa kita mendapatkan faktor \((x-1)\), yang merupakan nilai yang kita dekati dalam batas fungsi. Sekarang, kita dapat menyederhanakan fungsi menjadi \( \frac{3 x-3}{(x-3)(x-1)} \). Perhatikan bahwa faktor \((x-1)\) pada penyebut akan membatalkan faktor \((x-1)\) pada pembilang, sehingga kita dapat menyederhanakan fungsi menjadi \( \frac{3}{x-3} \). Sekarang, kita dapat menghitung batas fungsi saat \(x\) mendekati 1 dengan menggantikan \(x\) dengan nilai tersebut dalam fungsi yang telah disederhanakan. Dalam hal ini, kita akan mendapatkan \( \frac{3}{1-3} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} \). Jadi, batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{3 x-3}{x^{2}-9 x+3} \) adalah -\(\frac{3}{2}\). Dalam analisis ini, kita telah menggunakan metode faktorisasi untuk menyederhanakan fungsi dan menghitung batasnya. Metode ini sangat berguna dalam menentukan batas fungsi yang melibatkan faktor-faktor yang dapat dibatalkan. Dengan pemahaman tentang batas fungsi ini, kita dapat menerapkannya dalam berbagai konteks matematika, seperti dalam perhitungan turunan atau integral.