Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Menggunakan Metode Invers Matriks

Sistem persamaan linear adalah kumpulan persamaan linear yang terdiri dari beberapa variabel. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah metode invers matriks. Dalam metode ini, kita menggunakan matriks invers untuk mencari solusi dari sistem persamaan linear. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode invers matriks, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut: 1. Tentukan matriks koefisien \(A\) dan vektor konstanta \(B\) dari sistem persamaan linear. Dalam kasus ini, matriks koefisien \(A\) adalah: \[A = \left(\begin{array}{cc}2 & 7 \\ 5 & -2\end{array}\right)\] dan vektor konstanta \(B\) adalah: \[B = \left(\begin{array}{c}22 \\ 16\end{array}\right)\] 2. Hitung determinan matriks koefisien \(A\). Jika determinan tidak sama dengan nol, maka matriks \(A\) memiliki invers. Jika determinan sama dengan nol, maka matriks \(A\) tidak memiliki invers dan metode invers matriks tidak dapat digunakan. Dalam kasus ini, determinan matriks \(A\) adalah: \[|A| = (2 \times -2) - (7 \times 5) = -4 - 35 = -39\] Karena determinan matriks \(A\) tidak sama dengan nol, maka matriks \(A\) memiliki invers. 3. Hitung matriks invers \(A^{-1}\) dengan menggunakan rumus: \[A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{adj}(A)\] di mana \(\text{adj}(A)\) adalah matriks adjoin dari \(A\). Dalam kasus ini, matriks invers \(A^{-1}\) adalah: \[A^{-1} = \frac{1}{-39} \cdot \left(\begin{array}{cc}-2 & -7 \\ -5 & 2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}\frac{2}{39} & \frac{7}{39} \\ \frac{5}{39} & -\frac{2}{39}\end{array}\right)\] 4. Hitung solusi dari sistem persamaan linear dengan menggunakan rumus: \[X = A^{-1} \cdot B\] di mana \(X\) adalah vektor solusi. Dalam kasus ini, vektor solusi \(X\) adalah: \[X = \left(\begin{array}{cc}\frac{2}{39} & \frac{7}{39} \\ \frac{5}{39} & -\frac{2}{39}\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}22 \\ 16\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\frac{2}{39} \cdot 22 + \frac{7}{39} \cdot 16 \\ \frac{5}{39} \cdot 22 - \frac{2}{39} \cdot 16\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\frac{44}{39} + \frac{112}{39} \\ \frac{110}{39} - \frac{32}{39}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\frac{156}{39} \\ \frac{78}{39}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}4 \\ 2\end{array}\right)\] Jadi, solusi dari sistem persamaan linear tersebut adalah \(x = 4\) dan \(y = 2\). Dengan menggunakan metode invers matriks, kita dapat dengan mudah menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode ini sangat berguna dalam konteks matematika dan ilmu pengetahuan lainnya.