Menghitung Sudut ACB dalam Segitiga ABC

Dalam masalah ini, kita diberikan segitiga \(ABC\) dengan panjang sisi \(AB = 16 \, \text{cm}\) dan \(BC = 8\sqrt{6} \, \text{cm}\). Sudut \(A\) memiliki besar \(60^{\circ}\). Tugas kita adalah untuk menghitung besar sudut \(ACB\). Untuk memulai, mari kita lihat gambar segitiga \(ABC\): [Insert gambar segitiga ABC] Dalam segitiga ini, kita memiliki sudut \(A\) yang sudah diketahui, yaitu \(60^{\circ}\). Kita juga diberikan panjang sisi \(AB\) dan \(BC\). Dalam kasus ini, kita tidak diberikan panjang sisi \(AC\), tetapi kita dapat menggunakan hukum kosinus untuk menghitungnya. Hukum kosinus menyatakan bahwa dalam segitiga dengan panjang sisi \(a\), \(b\), dan \(c\), dan sudut yang berlawanan adalah \(A\), \(B\), dan \(C\) secara berurutan, kita memiliki persamaan: \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\] Dalam kasus kita, kita ingin mencari panjang sisi \(AC\) dan sudut \(ACB\). Kita sudah tahu panjang sisi \(AB\) dan \(BC\), dan sudut \(A\). Jadi, kita dapat menggunakan hukum kosinus untuk mencari panjang sisi \(AC\): \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(ACB)\] Sekarang, kita dapat menggantikan nilai-nilai yang sudah diketahui: \[AC^2 = (16 \, \text{cm})^2 + (8\sqrt{6} \, \text{cm})^2 - 2 \cdot 16 \, \text{cm} \cdot 8\sqrt{6} \, \text{cm} \cdot \cos(ACB)\] \[AC^2 = 256 \, \text{cm}^2 + 384 \, \text{cm}^2 - 256 \, \text{cm} \cdot \sqrt{6} \, \text{cm} \cdot \cos(ACB)\] \[AC^2 = 640 \, \text{cm}^2 - 256 \, \text{cm} \cdot \sqrt{6} \, \text{cm} \cdot \cos(ACB)\] Sekarang, kita perlu mencari nilai sudut \(ACB\). Kita dapat menggunakan hukum sinus untuk ini. Hukum sinus menyatakan bahwa dalam segitiga dengan panjang sisi \(a\), \(b\), dan \(c\), dan sudut yang berlawanan adalah \(A\), \(B\), dan \(C\) secara berurutan, kita memiliki persamaan: \[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\] Dalam kasus kita, kita ingin mencari sudut \(ACB\). Kita sudah tahu panjang sisi \(AB\) dan \(BC\), dan sudut \(A\). Jadi, kita dapat menggunakan hukum sinus untuk mencari sudut \(ACB\): \[\frac{AB}{\sin(A)} = \frac{BC}{\sin(ACB)}\] Sekarang, kita dapat menggantikan nilai-nilai yang sudah diketahui: \[\frac{16 \, \text{cm}}{\sin(60^{\circ})} = \frac{8\sqrt{6} \, \text{cm}}{\sin(ACB)}\] \[\frac{16 \, \text{cm}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8\sqrt{6} \, \text{cm}}{\sin(ACB)}\] \[32 \, \text{cm} = \frac{8\sqrt{6} \, \text{cm}}{\sin(ACB)}\] \[32 \, \text{cm} \cdot \sin(ACB) = 8\sqrt{6} \, \text{cm}\] \[\sin(ACB) = \frac{8\sqrt{6} \, \text{cm}}{32 \, \text{cm}}