Membuktikan Identitas Trigonometri dengan Koordinat Kartesian

Dalam matematika, terdapat banyak identitas trigonometri yang digunakan untuk mempermudah perhitungan dalam trigonometri. Salah satu identitas yang sering digunakan adalah identitas trigonometri dalam koordinat kartesian. Dalam artikel ini, kita akan membuktikan salah satu identitas trigonometri dengan menggunakan koordinat kartesian. Identitas trigonometri yang akan kita buktikan adalah \( x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} \), dengan \( x=r \sin A \cos B \), \( y=r \sin A \sin B \), dan \( z=r \cos A \). Pertama, mari kita tinjau koordinat kartesian. Dalam koordinat kartesian, titik-titik dalam ruang dapat direpresentasikan dengan tiga koordinat, yaitu \( x \), \( y \), dan \( z \). Selanjutnya, kita akan menggantikan \( x \), \( y \), dan \( z \) dengan \( r \sin A \cos B \), \( r \sin A \sin B \), dan \( r \cos A \) secara berurutan. Menggantikan \( x \), \( y \), dan \( z \) dalam identitas \( x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} \) dengan \( r \sin A \cos B \), \( r \sin A \sin B \), dan \( r \cos A \), kita dapatkan: \((r \sin A \cos B)^{2}+(r \sin A \sin B)^{2}+(r \cos A)^{2}=r^{2}\) Simplifikasi persamaan di atas, kita dapatkan: \(r^{2} \sin^{2} A \cos^{2} B + r^{2} \sin^{2} A \sin^{2} B + r^{2} \cos^{2} A = r^{2}\) Kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan \( r^{2} \), sehingga kita dapatkan: \( \sin^{2} A \cos^{2} B + \sin^{2} A \sin^{2} B + \cos^{2} A = 1\) Dalam trigonometri, kita tahu bahwa \( \sin^{2} A + \cos^{2} A = 1 \). Oleh karena itu, kita dapat menggantikan \( \sin^{2} A \) dengan \( 1 - \cos^{2} A \) dalam persamaan di atas: \( (1 - \cos^{2} A) \cos^{2} B + (1 - \cos^{2} A) \sin^{2} B + \cos^{2} A = 1\) Simplifikasi persamaan di atas, kita dapatkan: \( \cos^{2} A \cos^{2} B + \cos^{2} A \sin^{2} B + \cos^{2} A = 1\) Kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan \( \cos^{2} A \), sehingga kita dapatkan: \( \cos^{2} B + \sin^{2} B + 1 = \frac{1}{\cos^{2} A}\) Dalam trigonometri, kita tahu bahwa \( \cos^{2} B + \sin^{2} B = 1 \). Oleh karena itu, kita dapat menggantikan \( \cos^{2} B + \sin^{2} B \) dengan \( 1 \) dalam persamaan di atas: \( 1 + 1 = \frac{1}{\cos^{2} A}\) Simplifikasi persamaan di atas, kita dapatkan: \( 2 = \frac{1}{\cos^{2} A}\) Kita dapat membalikkan kedua sisi persamaan, sehingga kita dapatkan: \( \frac{1}{2} = \cos^{2} A\) Dalam trigonometri, kita tahu bahwa \( \cos^{2} A = \frac{1}{2} \) ketika \( A = \frac{\pi}{4} \). Oleh karena itu, kita dapatkan: \( A = \frac{\pi}{4} \) Dengan demikian, kita telah membuktikan identitas trigonometri \( x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} \) dengan \( x=r \sin A \cos B \), \( y=r \sin A \sin B \), dan \( z=r \cos A \). Dalam artikel ini, kita telah membuktikan identitas trigonometri dengan menggunakan koordinat kartesian. Identitas ini sangat berguna dalam perhitungan trigonometri dan dapat digunakan untuk mempermudah pemecahan masalah dalam trigonometri.