Mencari Nilai \( p \) dalam Persamaan Kuadrat dengan Akar Kembar

Persamaan kuadrat \( 18x^{2} - 3px + p = 0 \) memiliki akar kembar. Tugas kita adalah mencari nilai \( p \) yang memenuhi persamaan tersebut. Untuk mencari nilai \( p \), kita dapat menggunakan sifat akar kembar pada persamaan kuadrat. Jika persamaan memiliki akar kembar, maka diskriminannya harus sama dengan nol. Diskriminan pada persamaan kuadrat \( ax^{2} + bx + c = 0 \) diberikan oleh rumus \( D = b^{2} - 4ac \). Dalam kasus kita, \( a = 18 \), \( b = -3p \), dan \( c = p \). Oleh karena itu, diskriminan persamaan kita adalah \( D = (-3p)^{2} - 4(18)(p) \). Karena persamaan memiliki akar kembar, maka diskriminannya harus sama dengan nol. Dengan kata lain, \( D = 0 \). Mari kita selesaikan persamaan ini: \( (-3p)^{2} - 4(18)(p) = 0 \) Simplifikasi persamaan tersebut: \( 9p^{2} - 72p = 0 \) Kita dapat memfaktorkan persamaan ini: \( 9p(p - 8) = 0 \) Dari faktorisasi ini, kita dapat melihat bahwa ada dua kemungkinan nilai \( p \) yang memenuhi persamaan kita: \( p = 0 \) atau \( p = 8 \). Jadi, nilai \( p \) yang memenuhi persamaan kuadrat \( 18x^{2} - 3px + p = 0 \) dengan akar kembar adalah \( p = 0 \) atau \( p = 8 \). Dalam kasus ini, kita memiliki tiga pilihan jawaban: 6, -6, atau 7. Namun, tidak ada dari pilihan ini yang memenuhi persamaan kita. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah 8. Dengan demikian, nilai \( p \) yang memenuhi persamaan kuadrat \( 18x^{2} - 3px + p = 0 \) dengan akar kembar adalah \( p = 8 \).