Persamaan Kuadrat dan Akar-Akar Baru

Persamaan kuadrat adalah salah satu topik yang penting dalam matematika. Dalam artikel ini, kita akan membahas persamaan kuadrat dan mencari persamaan kuadrat baru dengan akar-akar yang diberikan. Dalam soal ini, kita diberikan persamaan kuadrat \(x^2 - x + 2 = 0\) dan kita diminta untuk mencari persamaan kuadrat baru dengan akar-akar \(2x_1 - 2\) dan \(2x_2 - 2\). Untuk mencari persamaan kuadrat baru, kita perlu menggunakan hubungan antara akar-akar persamaan kuadrat dan koefisien persamaan kuadrat. Jika \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2 + bx + c = 0\), maka kita memiliki hubungan berikut: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) dan \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\) Dalam kasus ini, kita memiliki persamaan kuadrat \(x^2 - x + 2 = 0\). Dari persamaan ini, kita dapat melihat bahwa \(a = 1\), \(b = -1\), dan \(c = 2\). Kita dapat menggunakan hubungan di atas untuk mencari hubungan antara akar-akar persamaan kuadrat baru dan koefisien persamaan kuadrat baru. Dalam kasus ini, kita ingin mencari persamaan kuadrat baru dengan akar-akar \(2x_1 - 2\) dan \(2x_2 - 2\). Mari kita selesaikan langkah-langkahnya: 1. Mengganti \(x\) dengan \(2x_1 - 2\) dalam persamaan \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\): \(2x_1 - 2 + 2x_2 - 2 = -\frac{b}{a}\) \(4x_1 + 4x_2 - 4 = -\frac{b}{a}\) 2. Mengganti \(x\) dengan \(2x_1 - 2\) dalam persamaan \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\): \((2x_1 - 2) \cdot (2x_2 - 2) = \frac{c}{a}\) \(4x_1x_2 - 4x_1 - 4x_2 + 4 = \frac{c}{a}\) Dari langkah-langkah di atas, kita dapat melihat bahwa persamaan kuadrat baru dengan akar-akar \(2x_1 - 2\) dan \(2x_2 - 2\) adalah persamaan kuadrat dengan koefisien \(4\), \(4\), dan \(-4\). Jadi, persamaan kuadrat baru dengan akar-akar \(2x_1 - 2\) dan \(2x_2 - 2\) adalah \(4x^2 + 4x - 4 = 0\). Dalam pilihan jawaban yang diberikan, persamaan kuadrat yang baru dengan akar-akar \(2x_1 - 2\) dan \(2x_2 - 2\) adalah \(4x^2 + 4x - 4 = 0\). Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A. \(8x^2 + 2x + 1 = 0\). Dengan demikian, kita telah menyelesaikan masalah ini dengan mencari persamaan kuadrat baru dengan akar-akar yang diberikan.