Membahas Batasan dari \( \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{4}{3} x \cot x\right) \)

Dalam matematika, batasan adalah konsep yang penting dalam mempelajari perilaku suatu fungsi saat variabel mendekati suatu titik tertentu. Dalam artikel ini, kita akan membahas batasan dari fungsi \( \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{4}{3} x \cot x\right) \) saat \( x \) mendekati 0. Pertama, mari kita evaluasi batasan ini menggunakan definisi batasan. Definisi batasan menyatakan bahwa \( \lim _{x \rightarrow a} f(x) = L \) jika untuk setiap \( \epsilon > 0 \), ada \( \delta > 0 \) sehingga jika \( 0 < |x - a| < \delta \), maka \( |f(x) - L| < \epsilon \). Dalam kasus ini, kita ingin mengevaluasi \( \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{4}{3} x \cot x\right) \). Mari kita gunakan definisi batasan untuk membuktikan bahwa batasan ini adalah 4/3. Misalkan \( \epsilon > 0 \) adalah suatu bilangan positif. Kita perlu menemukan suatu \( \delta > 0 \) sehingga jika \( 0 < |x - 0| < \delta \), maka \( \left|\left(\frac{4}{3} x \cot x\right) - \frac{4}{3}\right| < \epsilon \). Kita dapat menyederhanakan ekspresi ini menjadi \( \left|\frac{4}{3} \cot x - \frac{4}{3}\right| < \epsilon \). Kita tahu bahwa \( \cot x \) adalah fungsi yang kontinu di sekitar \( x = 0 \), sehingga kita dapat menggunakan fakta ini untuk memilih \( \delta \) yang sesuai. Dalam hal ini, kita dapat memilih \( \delta = \epsilon \), sehingga jika \( 0 < |x - 0| < \delta \), maka \( \left|\frac{4}{3} \cot x - \frac{4}{3}\right| < \epsilon \). Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa \( \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{4}{3} x \cot x\right) = \frac{4}{3} \). Dalam kesimpulan, kita telah membahas batasan dari fungsi \( \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{4}{3} x \cot x\right) \) saat \( x \) mendekati 0. Kita menggunakan definisi batasan untuk membuktikan bahwa batasan ini adalah 4/3.