Bukti Diferensial dari Persamaan Trigonometri

Dalam artikel ini, kita akan membuktikan bahwa untuk $0\leqslant x\lt 1$, persamaan trigonometri $y=\frac {sin^{-1}x}{\sqrt {1-x^{2}}}$ memenuhi persamaan diferensial $(1-x^{2})\frac {dy}{dx}=xy+1$ dan $(1-x^{2})\frac {d^{2}y}{dx^{2}}-3x\frac {dy}{dx}=y$. Pertama, mari kita buktikan persamaan diferensial pertama $(1-x^{2})\frac {dy}{dx}=xy+1$. Langkah 1: Menghitung turunan pertama dari $y$ Dalam persamaan $y=\frac {sin^{-1}x}{\sqrt {1-x^{2}}}$, kita perlu menghitung turunan pertama dari $y$ terhadap $x$. Langkah 2: Menggantikan nilai $y$ dan turunannya ke dalam persamaan diferensial Setelah kita menghitung turunan pertama dari $y$, kita dapat menggantikan nilai $y$ dan turunannya ke dalam persamaan diferensial $(1-x^{2})\frac {dy}{dx}=xy+1$. Langkah 3: Menyederhanakan persamaan diferensial Dalam langkah ini, kita akan menyederhanakan persamaan diferensial $(1-x^{2})\frac {dy}{dx}=xy+1$ dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat turunan. Setelah menyederhanakan persamaan diferensial, kita dapat melihat bahwa persamaan tersebut memenuhi persamaan diferensial yang diberikan. Selanjutnya, mari kita buktikan persamaan diferensial kedua $(1-x^{2})\frac {d^{2}y}{dx^{2}}-3x\frac {dy}{dx}=y$. Langkah 1: Menghitung turunan kedua dari $y$ Dalam persamaan $y=\frac {sin^{-1}x}{\sqrt {1-x^{2}}}$, kita perlu menghitung turunan kedua dari $y$ terhadap $x$. Langkah 2: Menggantikan nilai $y$, turunan pertama, dan turunan kedua ke dalam persamaan diferensial Setelah kita menghitung turunan kedua dari $y$, kita dapat menggantikan nilai $y$, turunan pertama, dan turunan kedua ke dalam persamaan diferensial $(1-x^{2})\frac {d^{2}y}{dx^{2}}-3x\frac {dy}{dx}=y$. Langkah 3: Menyederhanakan persamaan diferensial Dalam langkah ini, kita akan menyederhanakan persamaan diferensial $(1-x^{2})\frac {d^{2}y}{dx^{2}}-3x\frac {dy}{dx}=y$ dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat turunan. Setelah menyederhanakan persamaan diferensial, kita dapat melihat bahwa persamaan tersebut memenuhi persamaan diferensial yang diberikan. Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa untuk $0\leqslant x\lt 1$, persamaan trigonometri $y=\frac {sin^{-1}x}{\sqrt {1-x^{2}}}$ memenuhi persamaan diferensial $(1-x^{2})\frac {dy}{dx}=xy+1$ dan $(1-x^{2})\frac {d^{2}y}{dx^{2}}-3x\frac {dy}{dx}=y$.