Himpunan Penyelesaian dari Sistem Persamaan Linier

Sistem persamaan linier yang diberikan adalah sebagai berikut: $3x+2y-z=5$ $2x-4y+3z=-10$ $x+5y-2z=17$ Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier ini, kita dapat menggunakan metode eliminasi Gauss atau metode matriks. Dalam artikel ini, kita akan menggunakan metode eliminasi Gauss. Langkah pertama dalam metode eliminasi Gauss adalah mengubah sistem persamaan linier menjadi bentuk matriks augmented. Matriks augmented adalah matriks yang terdiri dari koefisien variabel dan konstanta pada setiap persamaan. Dalam kasus ini, matriks augmented untuk sistem persamaan linier ini adalah: $\begin{bmatrix} 3 & 2 & -1 & 5 \\ 2 & -4 & 3 & -10 \\ 1 & 5 & -2 & 17 \end{bmatrix}$ Langkah selanjutnya adalah melakukan operasi baris elementer pada matriks augmented untuk menghasilkan matriks segitiga atas. Operasi baris elementer melibatkan pertukaran baris, penggandaan baris, dan penjumlahan baris. Setelah melakukan operasi baris elementer, matriks augmented menjadi: $\begin{bmatrix} 3 & 2 & -1 & 5 \\ 0 & -8 & 5 & -20 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ Dalam matriks segitiga atas ini, baris terakhir terdiri dari semua nol. Hal ini menunjukkan bahwa sistem persamaan linier ini memiliki solusi tak terhingga. Untuk menemukan solusi tak terhingga ini, kita dapat mengekspresikan variabel dalam bentuk variabel bebas. Dalam kasus ini, kita dapat mengambil $y$ dan $z$ sebagai variabel bebas. Dengan mengambil $y$ dan $z$ sebagai variabel bebas, kita dapat mengekspresikan $x$ dalam bentuk variabel bebas. Misalnya, kita dapat mengambil $y=t$ dan $z=s$, di mana $t$ dan $s$ adalah bilangan real. Dengan menggantikan $y$ dan $z$ dengan $t$ dan $s$ dalam persamaan asli, kita dapat menemukan solusi tak terhingga dari sistem persamaan linier ini. Misalnya, jika kita mengambil $y=t$ dan $z=s$, maka persamaan pertama menjadi: $3x+2t-s=5$ Dengan mengatur ulang persamaan ini, kita dapat mengekspresikan $x$ dalam bentuk variabel bebas: $x=\frac{5-2t+s}{3}$ Dengan demikian, solusi tak terhingga dari sistem persamaan linier ini adalah: $x=\frac{5-2t+s}{3}$ $y=t$ $z=s$ Dalam hal ini, $t$ dan $s$ adalah bilangan real yang dapat dipilih secara bebas. Dengan demikian, kita telah menemukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier yang diberikan. Himpunan penyelesaian ini terdiri dari semua titik yang memenuhi persamaan-persamaan ini, dengan $x$, $y$, dan $z$ diekspresikan dalam bentuk variabel bebas.