Menghitung Integral dengan Menggunakan Penalaran Geometri

Dalam matematika, integral adalah salah satu konsep penting yang digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva. Dalam artikel ini, kita akan menggunakan penalaran geometri untuk menghitung dua integral yang diberikan. (a) Integral pertama yang akan kita hitung adalah \( \int_{-3}^{3}\|x\| d x \). Untuk menghitung integral ini, kita dapat membaginya menjadi dua bagian: dari \( -3 \) hingga \( 0 \) dan dari \( 0 \) hingga \( 3 \). Pertama, mari kita hitung integral dari \( -3 \) hingga \( 0 \). Karena \( \|x\| \) adalah nilai absolut dari \( x \), maka kita dapat menganggapnya sebagai jarak dari \( x \) ke titik \( 0 \) pada garis bilangan. Oleh karena itu, integral ini dapat diinterpretasikan sebagai dua segitiga dengan alas \( 3 \) dan tinggi \( x \). Dalam hal ini, tinggi segitiga adalah \( -x \), karena kita berada di sisi negatif dari sumbu \( x \). Dengan menggunakan rumus luas segitiga, luas segitiga pertama adalah \( \frac{1}{2} \times 3 \times (-x) = -\frac{3}{2}x \). Selanjutnya, mari kita hitung integral dari \( 0 \) hingga \( 3 \). Karena kita berada di sisi positif dari sumbu \( x \), tinggi segitiga adalah \( x \). Luas segitiga kedua adalah \( \frac{1}{2} \times 3 \times x = \frac{3}{2}x \). Jadi, total luas di bawah kurva \( \|x\| \) dari \( -3 \) hingga \( 3 \) adalah \( -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2}x = 0 \). (b) Integral kedua yang akan kita hitung adalah \( \int_{-3}^{3}|| x \|^{2} d x \). Untuk menghitung integral ini, kita dapat menggunakan fakta bahwa \( \int_{a} x^{2} d x=b^{3 / 3} \). Dalam hal ini, \( a = -3 \) dan \( b = 3 \). Menggunakan rumus ini, kita dapat menghitung integral ini sebagai \( 3^{3 / 3} - (-3)^{3 / 3} = 3 - (-3) = 6 \). Dengan demikian, integral \( \int_{-3}^{3}|| x \|^{2} d x \) adalah \( 6 \). Dalam artikel ini, kita telah menggunakan penalaran geometri untuk menghitung dua integral yang diberikan. Dengan memahami konsep ini, kita dapat lebih memahami dan mengaplikasikan integral dalam matematika.