Menentukan Nilai \( f^{1}(x) \) dari \( f(x) \frac{2}{3} x^{6}+2 x^{-1} \)

Dalam matematika, kita sering dihadapkan pada tugas untuk menentukan turunan dari suatu fungsi. Dalam kasus ini, kita akan mencari nilai dari turunan pertama (\( f^{1}(x) \)) dari fungsi \( f(x) \frac{2}{3} x^{6}+2 x^{-1} \). Untuk menyelesaikan tugas ini, kita perlu menggunakan aturan turunan yang tepat. Aturan turunan yang paling umum digunakan adalah aturan turunan polinomial. Aturan ini menyatakan bahwa turunan dari suatu polinomial adalah polinomial dengan pangkat yang lebih rendah. Dalam kasus ini, fungsi \( f(x) \frac{2}{3} x^{6}+2 x^{-1} \) adalah kombinasi dari dua suku. Suku pertama adalah \( \frac{2}{3} x^{6} \) dan suku kedua adalah \( 2 x^{-1} \). Kita akan mencari turunan dari masing-masing suku ini secara terpisah. Untuk suku pertama, \( \frac{2}{3} x^{6} \), kita dapat menggunakan aturan turunan polinomial. Aturan ini menyatakan bahwa turunan dari \( x^{n} \) adalah \( n x^{n-1} \), di mana \( n \) adalah pangkat suku. Dalam kasus ini, pangkat suku adalah 6, sehingga turunan dari \( \frac{2}{3} x^{6} \) adalah \( \frac{2}{3} \cdot 6 x^{6-1} = 4 x^{5} \). Untuk suku kedua, \( 2 x^{-1} \), kita juga dapat menggunakan aturan turunan polinomial. Namun, aturan ini tidak berlaku untuk suku dengan pangkat negatif. Untuk suku dengan pangkat negatif, kita perlu menggunakan aturan turunan suku pangkat negatif. Aturan ini menyatakan bahwa turunan dari \( x^{-n} \) adalah \( -n x^{-n-1} \), di mana \( n \) adalah pangkat suku. Dalam kasus ini, pangkat suku adalah -1, sehingga turunan dari \( 2 x^{-1} \) adalah \( 2 \cdot (-1) x^{-1-1} = -2 x^{-2} \). Sekarang kita telah menemukan turunan dari masing-masing suku, kita dapat menggabungkannya untuk mendapatkan turunan pertama (\( f^{1}(x) \)) dari fungsi \( f(x) \frac{2}{3} x^{6}+2 x^{-1} \). Turunan pertama adalah penjumlahan dari turunan masing-masing suku, sehingga \( f^{1}(x) = 4 x^{5} + (-2 x^{-2}) = 4 x^{5} - 2 x^{-2} \). Dengan demikian, jawaban yang benar adalah B. \( 2 x^{5}+2 x^{-1} \).