Diferensiasi Implisit dalam Persamaan √xy + 1 = y

Dalam matematika, diferensiasi implisit adalah teknik yang digunakan untuk menghitung turunan dari suatu fungsi yang dinyatakan secara implisit dalam suatu persamaan. Dalam artikel ini, kita akan menggunakan diferensiasi implisit untuk mencari turunan dari persamaan √xy + 1 = y. Pertama-tama, mari kita tinjau persamaan tersebut dengan lebih cermat. Persamaan ini mengandung dua variabel, x dan y, yang saling terkait melalui akar kuadrat dan penjumlahan. Tujuan kita adalah untuk menemukan turunan dari y terhadap x, atau dengan kata lain, mencari dy/dx. Langkah pertama dalam diferensiasi implisit adalah mengambil turunan terhadap kedua sisi persamaan terhadap x. Namun, sebelum kita melakukannya, kita perlu mengingat aturan diferensiasi untuk fungsi-fungsi dasar. Misalnya, jika kita memiliki fungsi f(x) = x^n, maka turunan dari f(x) terhadap x adalah f'(x) = nx^(n-1). Kembali ke persamaan kita, mari kita terapkan aturan diferensiasi pada setiap suku. Turunan dari √xy terhadap x adalah (√xy)' = (√x)'y + (√y)'x. Mengingat bahwa (√x)' = 1/(2√x) dan (√y)' = 1/(2√y), kita dapat menyederhanakan turunan ini menjadi (1/(2√x))y + (1/(2√y))x. Turunan dari 1 terhadap x adalah 0, karena 1 tidak bergantung pada x. Turunan dari y terhadap x adalah dy/dx. Oleh karena itu, kita dapat menulis persamaan diferensial implisit kita sebagai (1/(2√x))y + (1/(2√y))x + 0 = dy/dx. Sekarang, kita perlu menyederhanakan persamaan ini untuk mencari dy/dx. Pertama-tama, kita dapat mengalikan kedua sisi persamaan dengan 2√x√y untuk menghilangkan denominasi. Setelah melakukan ini, kita akan mendapatkan persamaan 2y√y + 2x√x = dy/dx * 2√x√y. Selanjutnya, kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan 2√x√y untuk mendapatkan persamaan akhir kita, y√y + x√x = dy/dx. Dengan demikian, kita telah berhasil menemukan turunan dari persamaan √xy + 1 = y terhadap x menggunakan diferensiasi implisit. Turunan ini dinyatakan dalam bentuk dy/dx = y√y + x√x. Dalam kesimpulan, diferensiasi implisit adalah teknik yang berguna untuk menghitung turunan dari suatu fungsi yang dinyatakan secara implisit dalam suatu persamaan. Dalam artikel ini, kita telah menggunakan diferensiasi implisit untuk mencari turunan dari persamaan √xy + 1 = y terhadap x, dan kita telah menemukan bahwa turunan tersebut adalah dy/dx = y√y + x√x.