Analisis Himpunan Penyelesaian dari Persamaan Pecahan

Dalam artikel ini, kita akan menganalisis himpunan penyelesaian dari persamaan pecahan yang diberikan. Persamaan pecahan yang akan kita bahas adalah $\frac {3}{x^{2}-3x+2}-\frac {5}{x^{2}-4x+3}\lt 0$. Kita akan menggunakan metode pemecahan persamaan pecahan untuk menentukan himpunan penyelesaian yang memenuhi ketidaksetaraan ini. Pertama, mari kita tinjau faktor-faktor penyebut persamaan pecahan ini. Penyebut pertama adalah $x^{2}-3x+2$ dan penyebut kedua adalah $x^{2}-4x+3$. Kita perlu mencari titik-titik di mana penyebut-penyebut ini sama dengan nol untuk menghindari pembagian dengan nol. Untuk penyebut pertama, kita dapat mencari akar-akarnya dengan menggunakan metode faktorisasi. Kita mencari dua bilangan yang ketika dikalikan menghasilkan 2 dan ketika ditambahkan menghasilkan -3. Dari perhitungan ini, kita dapat menemukan bahwa akar-akar penyebut pertama adalah 1 dan 2. Untuk penyebut kedua, kita juga dapat menggunakan metode faktorisasi. Kita mencari dua bilangan yang ketika dikalikan menghasilkan 3 dan ketika ditambahkan menghasilkan -4. Dari perhitungan ini, kita dapat menemukan bahwa akar-akar penyebut kedua adalah 1 dan 3. Sekarang, kita dapat menggunakan akar-akar ini untuk membagi himpunan bilangan real menjadi beberapa interval. Kita perlu memeriksa tanda pecahan pada setiap interval untuk menentukan himpunan penyelesaian dari ketidaksetaraan ini. Pertama, kita periksa interval $(-\infty, 1)$. Pada interval ini, kedua penyebut bernilai negatif, sehingga pecahan pertama dan kedua bernilai positif. Oleh karena itu, ketidaksetaraan ini tidak terpenuhi pada interval ini. Selanjutnya, kita periksa interval $(1, 2)$. Pada interval ini, penyebut pertama bernilai positif dan penyebut kedua bernilai negatif. Oleh karena itu, pecahan pertama bernilai positif dan pecahan kedua bernilai negatif. Karena ketidaksetaraan ini harus kurang dari nol, interval ini memenuhi ketidaksetaraan. Terakhir, kita periksa interval $(2, \infty)$. Pada interval ini, kedua penyebut bernilai positif, sehingga pecahan pertama dan kedua bernilai positif. Oleh karena itu, ketidaksetaraan ini tidak terpenuhi pada interval ini. Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari persamaan pecahan $\frac {3}{x^{2}-3x+2}-\frac {5}{x^{2}-4x+3}\lt 0$ adalah interval $(1, 2)$. Dalam analisis ini, kita telah menggunakan metode pemecahan persamaan pecahan untuk menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan pecahan yang diberikan. Dengan memahami konsep ini, kita dapat menerapkan metode yang sama untuk menyelesaikan persamaan pecahan lainnya.