Metode Newton dalam Menentukan Akar Persamaan

Metode Newton adalah salah satu metode numerik yang digunakan untuk menentukan akar persamaan. Dalam artikel ini, kita akan menggunakan metode Newton untuk menentukan akar persamaan \( x^{3}-2 x^{2}+3 x-6=0 \) dengan memulai nilai awal \( x=3 \) dan mencapai ketelitian 5 desimal. Metode Newton adalah metode iteratif yang didasarkan pada pendekatan linierisasi fungsi. Ide dasar di balik metode ini adalah untuk mengambil nilai awal yang dekat dengan akar yang diinginkan, dan kemudian menggunakan turunan fungsi untuk memperbaiki perkiraan tersebut secara iteratif. Dalam kasus ini, kita ingin menentukan akar persamaan \( x^{3}-2 x^{2}+3 x-6=0 \) dengan metode Newton. Pertama, kita memulai dengan nilai awal \( x=3 \). Kemudian, kita menggunakan turunan fungsi untuk memperbaiki perkiraan kita secara iteratif. Langkah pertama adalah menghitung nilai fungsi dan turunannya pada titik \( x=3 \). Setelah itu, kita menggunakan rumus iterasi metode Newton: \[ x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} \] di mana \( x_{n} \) adalah perkiraan akar pada iterasi ke-n, \( f(x_{n}) \) adalah nilai fungsi pada titik \( x_{n} \), dan \( f'(x_{n}) \) adalah turunan fungsi pada titik \( x_{n} \). Kita terus mengulangi langkah ini sampai kita mencapai ketelitian yang diinginkan, yaitu 5 desimal. Dalam setiap iterasi, kita menghitung nilai fungsi dan turunannya pada titik \( x_{n} \), dan kemudian menggunakan rumus iterasi untuk memperbaiki perkiraan kita. Setelah beberapa iterasi, kita akan mendapatkan perkiraan akar persamaan dengan ketelitian 5 desimal. Dengan menggunakan metode Newton, kita dapat dengan cepat dan efisien menentukan akar persamaan yang kompleks seperti \( x^{3}-2 x^{2}+3 x-6=0 \). Dalam artikel ini, kita telah melihat bagaimana metode Newton dapat digunakan untuk menentukan akar persamaan. Dengan memulai nilai awal yang dekat dengan akar yang diinginkan, dan menggunakan turunan fungsi untuk memperbaiki perkiraan kita secara iteratif, kita dapat mencapai ketelitian yang diinginkan. Metode Newton adalah salah satu metode numerik yang sangat berguna dalam matematika dan ilmu pengetahuan.