Invers Fungsi dari Persamaan Rasional

Dalam matematika, fungsi invers adalah fungsi yang membalikkan operasi dari fungsi aslinya. Dalam artikel ini, kita akan mencari invers dari dua fungsi rasional yang diberikan. a. \( f(x)=\frac{8 x+2}{x-5} \) Untuk mencari invers dari fungsi ini, kita perlu menukar \( x \) dan \( y \) dan mencari \( x \) dalam hal \( y \). Mari kita mulai dengan mengganti \( f(x) \) dengan \( y \): \[ y = \frac{8 x+2}{x-5} \] Selanjutnya, kita akan menyelesaikan persamaan ini untuk \( x \). Pertama, kita akan menghilangkan pecahan dengan mengalikan kedua sisi dengan \( x-5 \): \[ y(x-5) = 8x + 2 \] Kemudian, kita akan menyederhanakan persamaan ini: \[ xy - 5y = 8x + 2 \] \[ xy - 8x = 5y + 2 \] \[ x(y - 8) = 5y + 2 \] \[ x = \frac{5y + 2}{y - 8} \] Jadi, invers dari fungsi \( f(x) = \frac{8x + 2}{x - 5} \) adalah \( f^{-1}(x) = \frac{5x + 2}{x - 8} \). b. \( f(x) = \frac{12x + 4}{x^2} \) Untuk mencari invers dari fungsi ini, kita akan menggunakan metode yang sama seperti sebelumnya. Mari kita mulai dengan mengganti \( f(x) \) dengan \( y \): \[ y = \frac{12x + 4}{x^2} \] Selanjutnya, kita akan menyelesaikan persamaan ini untuk \( x \). Pertama, kita akan menghilangkan pecahan dengan mengalikan kedua sisi dengan \( x^2 \): \[ yx^2 = 12x + 4 \] Kemudian, kita akan menyederhanakan persamaan ini: \[ yx^2 - 12x = 4 \] \[ x^2 - \frac{12}{y}x = \frac{4}{y} \] Sekarang, kita akan menyelesaikan persamaan kuadrat ini untuk \( x \) menggunakan rumus kuadrat: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Dalam kasus ini, \( a = 1 \), \( b = -\frac{12}{y} \), dan \( c = \frac{4}{y} \). Setelah mengganti nilai-nilai ini, kita dapat menyelesaikan persamaan untuk \( x \). Jadi, invers dari fungsi \( f(x) = \frac{12x + 4}{x^2} \) adalah \( f^{-1}(x) = \frac{-\frac{12}{x} \pm \sqrt{\left(\frac{12}{x}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{4}{x}}}{2 \cdot 1} \). Dengan demikian, kita telah menemukan invers dari kedua fungsi rasional yang diberikan.