Menentukan Nilai Limit dari Fungsi \( \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{9-9 x^{2}}{\tan (x-1)}\right) \)

Dalam matematika, limit adalah konsep yang digunakan untuk memahami perilaku suatu fungsi saat variabel pendekat ke suatu titik tertentu. Dalam artikel ini, kita akan membahas cara menentukan nilai limit dari fungsi \( \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{9-9 x^{2}}{\tan (x-1)}\right) \). Pertama-tama, mari kita evaluasi fungsi ini dengan menggunakan substitusi langsung. Ketika \( x \) mendekati 1, kita dapat menggantikan \( x \) dengan 1 dalam fungsi tersebut: \[ \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{9-9 x^{2}}{\tan (x-1)}\right) = \frac{9-9(1)^{2}}{\tan (1-1)} \] Sekarang, kita perlu memperhatikan bahwa fungsi tangen memiliki singularitas di \( x = 1 \), yang berarti bahwa fungsi ini tidak terdefinisi pada titik tersebut. Oleh karena itu, kita tidak dapat menggunakan substitusi langsung untuk menentukan nilai limit dari fungsi ini. Namun, kita dapat menggunakan pendekatan lain untuk menentukan nilai limit. Salah satu pendekatan yang umum digunakan adalah menggunakan sifat-sifat limit. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan sifat limit fungsi pecahan, yaitu jika \( \lim _{x \rightarrow a}f(x) \) dan \( \lim _{x \rightarrow a}g(x) \) ada, maka \( \lim _{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} \) juga ada dan dapat dihitung dengan membagi limit dari fungsinya. Dalam kasus kita, kita dapat membagi fungsi \( 9-9 x^{2} \) dengan fungsi \( \tan (x-1) \): \[ \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{9-9 x^{2}}{\tan (x-1)}\right) = \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{9-9 x^{2}}{\tan (x-1)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x-1)}}{\frac{1}{\cos (x-1)}}\right) \] Dengan menggunakan sifat limit, kita dapat membagi limit dari fungsi pecahan menjadi limit dari fungsi-fungsi individunya: \[ \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{9-9 x^{2}}{\tan (x-1)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x-1)}}{\frac{1}{\cos (x-1)}}\right) = \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{9-9 x^{2}}{\frac{\sin (x-1)}{\cos (x-1)}} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x-1)}}{\frac{1}{\cos (x-1)}}\right) \] Sekarang, kita dapat menyederhanakan fungsi ini dengan membagi dan mengalikan pecahan: \[ \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{9-9 x^{2}}{\frac{\sin (x-1)}{\cos (x-1)}} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x-1)}}{\frac{1}{\cos (x-1)}}\right) = \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{9-9 x^{2}}{\sin (x-1)} \cdot \frac{\cos (x-1)}{1}\right) \] Sekarang, kita dapat menggunakan sifat limit lainnya, yaitu \( \lim _{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \), untuk menyederhanakan fungsi ini lebih lanjut: \[ \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{9-9 x^{2}}{\sin (x-1)} \cdot \frac{\cos (x-1)}{1}\right) = \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{9-9 x^{2}}{x-1} \cdot \frac{\cos (x-1)}{\sin (x-1)} \cdot \frac{\sin (x-1)}{x-1}\right) \] Dengan menggunakan sifat limit \( \lim _{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \) lagi, kita dapat menyederhanakan fungsi ini menjadi: \[ \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{9-9 x^{2}}{x-1} \cdot \frac{\cos (x-1)}{\sin (x-1)} \cdot \frac{\sin (x-1)}{x-1}\right) = \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{9-9 x^{2}}{x-1} \cdot \cos (x-1) \cdot 1\right) \] Sekarang, kita dapat menggunakan substitusi langsung lagi untuk menentukan nilai limit dari fungsi ini: \[ \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{9-9 x^{2}}{x-1} \cdot \cos (x-1) \cdot 1\right) = \frac{9-9(1)^{2}}{1-1} \cdot \cos (1-1) \cdot 1 \] \[ = \frac{9-9}{0} \cdot \cos 0 \cdot 1 \] \[ = \frac{0}{0} \cdot 1 \] Dalam matematika, bentuk \( \frac{0}{0} \) disebut sebagai bentuk tak tentu, yang berarti kita tidak dapat menentukan nilai limit dari fungsi ini dengan menggunakan pendekatan ini. Oleh karena itu, kita perlu menggunakan pendekatan lain. Salah satu pendekatan yang umum digunakan adalah menggunakan aturan L'Hopital. Aturan ini menyatakan bahwa jika kita memiliki bentuk tak tentu \( \frac{0}{0} \) atau \( \frac{\infty}{\infty} \), kita dapat mengambil turunan dari fungsi-fungsi individu dalam pecahan tersebut dan menghitung limit dari pecahan turunan tersebut. Dalam kasus kita, kita dapat mengambil turunan dari fungsi \( 9-9 x^{2} \) dan \( x-1 \), dan kemudian menghitung limit dari pecahan turunan tersebut: \[ \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{9-9 x^{2}}{x-1}\right) = \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{\frac{d}{dx}(9-9 x^{2})}{\frac{d}{dx}(x-1)}\right) \] \[ = \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{-18x}{1}\right) \] \[ = -18 \] Jadi, nilai limit dari fungsi \( \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{9-9 x^{2}}{\tan (x-1)}\right) \) adalah -18. Dalam artikel ini, kita telah membahas cara menentukan nilai limit dari fungsi \( \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{9-9 x^{2}}{\tan (x-1)}\right) \) dengan menggunakan sifat-sifat limit dan aturan L'Hopital. Semoga artikel ini bermanfaat dan membantu Anda memahami konsep limit dalam matematika.