Menemukan pola dalam barisan aritmatika dan menghitung limit fungsi

Dalam matematika, barisan aritmatika adalah urutan angka di mana selisih antara dua suku berurutan adalah konstan. Dalam kasus ini, kita diberikan suku ke-3 dan suku ke-10 dari barisan aritmatika, yang masing-masing adalah 11 dan 39. Kami diminta untuk menemukan rumus suku ke-n dan suku ke-negatif 25.

Untuk menemukan rumus suku ke-n, kita dapat menggunakan rumus umum untuk barisan aritmatika, yang diberikan oleh:

an = a1 + (n-1)d

di mana a1 adalah suku pertama, n adalah nomor suku, dan d adalah selisih antara dua suku berurutan. Dalam kasus ini, a1 adalah 11 dan d adalah selisih antara suku ke-3 dan suku ke-10, yang dapat dihitung sebagai:

d = (a10 - a3) / (10 - 3) = (39 - 11) / (10 - 3) = 28 / 7 = 4

Dengan mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus, kita mendapatkan:

an = 11 + (n-1)4

Sekarang, mari kita hitung suku ke-negatif 25. Dengan mengganti n dengan -25 ke dalam rumus, kita mendapatkan:

a-25 = 11 + (-25-1)4 = 11 - 108 = -97

Jadi, suku ke-negatif 25 dari barisan aritmatika adalah -97.

Selanjutnya, kita diberikan fungsi f(x) = 4x^5 - x^3 + 1 dan diminta untuk menemukan turunan pertama dan kedua dari fungsi ini. Turunan pertama dari fungsi f(x) ditemukan dengan mengambil turunan dari setiap suku secara terpisah, yang menghasilkan:

f'(x) = 20x^4 - 3x^2

Turunan kedua dari fungsi f(x) ditemukan dengan mengambil turunan dari turunan pertama, yang menghasilkan:

f''(x) = 80x^3 - 6x

Akhirnya, kita diberikan integral dari fungsi x^5 + 3x^2 + 2, yang dapat dihitung dengan menggunakan aturan integral pangkat, yang mengatakan bahwa integral dari x^n adalah (x^(n+1))/(n+1) + C, di mana C adalah konstanta integrasi. Dengan menerapkan aturan ini pada setiap suku secara terpisah, kita mendapatkan:

∫(x^5 + 3x^2 + 2)dx = (x^6)/6 + (3x^3)/3 + 2x + C

Dengan demikian, kita telah menemukan pola dalam barisan aritmatika, menghitung limit fungsi, dan menemukan turunan pertama dan kedua dari fungsi.